作业帮y的两阶导数减去a倍的y的一阶导数的平方等于零,求此微分方程的通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:21:11
y的两阶导数减去a倍的y的一阶导数的平方等于零,求此微分方程的通解
y的两阶导数减去a倍的y的一阶导数的平方等于零,求此微分方程的通解
y的两阶导数减去a倍的y的一阶导数的平方等于零,求此微分方程的通解
y"-ay'^2=0
y"/y'=ay'
积分：
lny'+C1=ay+C2
lny'=ay+C
y'=Ce^(ay)
y'e^(-ay)=C
积分：
e^(-ay)=-Cx/a
-ay=lnx-C' (C'是常数)
y''-ay'²=0
设p=y'
则y''=dp/dx
从而 dp/dx-p²=0
dp/p²=dx
积分得 -1/p=x+C1
p=-1/(x+C1)
即 dy/dx=-1/(x+C1)
从而得 y=-ln|x+C1|+C2
∵y"-ay'²=0 ==>dy'/y'²=adx
==>1/y'=C1-ax (两端积分，C1是积分常数)
==>dx/dy=C1-ax
==>dx/(C1-ax)=dy
...
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∵y"-ay'²=0 ==>dy'/y'²=adx
==>1/y'=C1-ax (两端积分，C1是积分常数)
==>dx/dy=C1-ax
==>dx/(C1-ax)=dy
==>ln│C1-ax│=ln│-C2│-ay (两端积分，C2是积分常数)
==>C1-ax=-C2e^(-ay)
==>ax=C1+C2e^(-ay)
∴原方程的通解是ax=C1+C2e^(-ay) (C1,C2是积分常数)
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