y的二阶导数=1+(y的一阶导数)的平方,求微分方程的通解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 18:45:31
y的二阶导数=1+(y的一阶导数)的平方,求微分方程的通解

y的二阶导数=1+(y的一阶导数)的平方,求微分方程的通解
y的二阶导数=1+(y的一阶导数)的平方,求微分方程的通解

y的二阶导数=1+(y的一阶导数)的平方,求微分方程的通解
由题意知y''=1+(y')^2
令y'=p,则y''=p'=dp/dx
于是原方程可以写成:p'=1+p^2,
所以dp/(1+p^2)=dx
对等式两端同时积分得到:arctan p=x+c1(c1为常数)
即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1),
所以dy=tan(x+c1) dx,
再对等式两端同时积分得到微分方程的通解为:
y= -ln |cos(x+c1)|+c2 (c1、c2均为常数)