为什么特征值和特征向量是矩阵元素的连续函数?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 09:39:08

为什么特征值和特征向量是矩阵元素的连续函数?
为什么特征值和特征向量是矩阵元素的连续函数?

为什么特征值和特征向量是矩阵元素的连续函数?
可以告诉你,结论不完全正确.
特征值一定是矩阵元素的连续函数,特征向量未必,但是单特征值及其特征向量是矩阵元素的解析函数.
简单说一下证明思路：只考虑多项式p(z)=0的零点问题.利用复分析中的幅角原理,考察p'(z)/[2pi*i*p(z)]在某一圆上的积分就可以得到圆内的零点个数,这个是整数,小扰动下保持不变.
另外有关于扰动阶的Ostrowski定理,也可以直接证明特征值的连续性.
对于单特征值对应的特征对,利用一阶扰动分析的办法考察Ax=ax,(A+E)y=by,x^H(y-x)=0,把b和y视为E的隐函数,验证Jacobi行列式可逆就可以了.具体的扰动阶也很容易得到.

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