作业帮求函数f(x)=(e的x次方-a)的平方+(e的-x次方-a)的平方(0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:04:49
求函数f(x)=(e的x次方-a)的平方+(e的-x次方-a)的平方(0
求函数f(x)=(e的x次方-a)的平方+(e的-x次方-a)的平方(0
求函数f(x)=(e的x次方-a)的平方+(e的-x次方-a)的平方(0
对于这个问题应该先化简
f(x)=(e的x次方-+e的-x次方-a)平方+a平方-2
然后根据均值不等式就可以得出上面的结论
一般情况下对于这类问题不能对(e的x次方-a)的平方和(e的-x次方-a)的平方分开用均值不等式,因为等号不一定同时取得,所以要把未知量归一,然后使用.
f(x)=[(e^x)-a)]^2+[(e^-x)-a]^2 ^2代表平方
>=2[(e^2)-a][(e^-x)-a] 运用a^2+b^2>=2ab
=2{1-a[(e^x)+(e^-x)]+a^2}
>=2(1-2a+a^2) 运用a+b>=2根号ab
=2(a-1)^2 ...
全部展开
f(x)=[(e^x)-a)]^2+[(e^-x)-a]^2 ^2代表平方
>=2[(e^2)-a][(e^-x)-a] 运用a^2+b^2>=2ab
=2{1-a[(e^x)+(e^-x)]+a^2}
>=2(1-2a+a^2) 运用a+b>=2根号ab
=2(a-1)^2
仅当e^x=e^-x 时等号成立 此时x=0.
收起
根据基本不等式a²+b²≥2ab得
f(x)=[(e^x)-a)]^2+[e^(-x)-a]²≥2[(e^2)-a][e^(-x)-a]=2{1-a[(e^x)+e^(-x)]+a²}
根据基本不等式a+b≥2√(ab)得到
2{1-a[(e^x)+e^(-x)]+a²}≥2(1-2a+a²)=2(a-1)²
仅当e^x=e^-x 时等号成立 此时x=0
∴f(x)的最小值为2(a-1)²