证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负,且∫f(x)dx=0,则f(x)=0.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 12:13:04

证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负,且∫f(x)dx=0,则f(x)=0.
证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负,且∫f(x)dx=0,则f(x)=0.

证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负,且∫f(x)dx=0,则f(x)=0.
证明:∫f(x)dx=F(x)+C=0,=>F(x)=-C
∵F'(x)=f(x)=[-C]'=0
∴f(x)=0

见图

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1、什么题啊，显然是这个结果
2、存在非递减的原函数F(x),积分值=F(b)-F(a)=0
所以F(b)=F(a)
因为F(x)非递减，所以F(x)是常函数
F'(x)=f(x)=0

可以很容易的用反证法来证明。
假设存在[a,b]上一点x0，有f(x0)>0的话，那么由f(x)的连续性，可以取x0的一个邻域（不妨设邻域长度为d）使得f(x)在其上都大于1/2*f(x0)。那么因为f(x)非负，由定积分的不等式可以知道
∫f(x)dx>=1/2*f(x0)*d>0
与∫f(x)dx=0矛盾。所以不存在这样的x0使f(x0)>0。
所以只能f(x)...

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证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负,且∫f(x)dx=0,则f(x)=0. 应用一致连续定义证明：若函数f(x)在[a,b]与[b,c]一致连续,则函数在[a,c]一若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 证明：若单调有界函数f(x)可取到f(a).f(b)之间的一切值,则f(x)在[a,b]上连续 f(x)在[a,b]可积,积分上限函数Φ(x)连续,为什么,怎么证明? 证明,若函数f(x)在点a连续,则|f(x)|在点a也连续.逆命题是否成? 证明：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,a 证明：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,则至少存在一... 证明：若函数f x 在（a,∞）连续,且limf x =A与limf x =B,则f x 在(a,∞)有界设函数f(x)在(a,b)内连续,且f(a+),f(b-)存在,证明：函数f(x)在(a,b)内有界. 设函数f(x)j连续于（a,b).且没有零点,证明：f(x)在（a,b)上保号, 用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界若函数f(x)在[a,b]上连续且有反函数,问f(x)在[a,b]上是否单调并证明?急函数f(x)在闭区间[a,b]上严格单调且连续,f(a)=A,f(b)=B,证明f([a,b])=(A,B) 若函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>=0,且f(x)dx在[a,b]上的积分等于0,求证明在[a,b]上,f(x)恒等于0 函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导.证明存在一点&属于(a,b)使(bf(b)-af(a))/(b-a)=&f'(&)+f(&)