作业帮高等数学常微分方程的问题二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解 设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) 由于刚学这部分所以对此理解不全 如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:48:02
高等数学常微分方程的问题二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解 设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) 由于刚学这部分所以对此理解不全 如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x
高等数学常微分方程的问题
二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解
设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) 由于刚学这部分所以对此理解不全 如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 问：
此题中特征根r1=r2=-2 λ=1 k=1 那么设特解的形式是根据λ来确定的还是根据k来确定的?我之前做了几题 发现k提交问题=1 就设特解为Ax(e^λx) k=2就设特解为x（ax+b）(e^λx) ...和λ是多少没关系啊 那么λ是用来干什么的?总之书上好像是根据λ是否等于特征根来决定特解形式的 郁闷...
求解y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 的特解 尤其是怎么将特解带入原方程的计算过程 请不要跳步 我算了半天都和树上的答案不一样 它的结果我都不知道是怎么来的...
高等数学常微分方程的问题二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解 设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) 由于刚学这部分所以对此理解不全 如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x
k的取值由λ决定.如果λ不是齐次方程的特征方程的根,k=0；如果λ是齐次方程的特征方程的单根,k=1；如果λ是齐次方程的特征方程的重根,k=2.当k的值确定了之后,特解的形式自然确定了.
对于y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x,特解可设为x^k(ax^2+bx+c),因为λ=1不是齐次方程的特征方程r^2+4r+4=0的根,所以k=0,所以特解设为(ax^2+bx+c)e^x.
把特解代入的过程一般可省略,有个可直接得最终结果的式子,教材上的推导过程会有：对于y''+py'+qy=P(x)e^(λx),特解设为Q(x)e^(λx),代入后会得到Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=P(x).熟记这个式子对于简化计算很有帮助.
对于本题,P(x)=2x^2,Q(x)=ax^2+bx+c,所以2a+6(2ax+b)+9(ax^2+bx+c)=2x^2,所以a=2/9,b=-8/27,c=4/27.
常微分方程待定系数法不用太纠结，以后要解这种方程是不会用这种待定系数法来解的，全都用拉普拉斯变换来解，如果理解不了，记住就好，应付考试足够了，以后只要会用拉氏变换解才是实用的。
设特解为y*=(Ax^2+Bx+C)e^x
则y*'=(Ax^2+(2A+B)x+(B+C))e^x
y*''=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C))e^x
所以Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)+4Ax^2+(8A+4B)x+(4B+4C)+4Ax^2+4Bx+4C=2x^2
所以9A=2,12A+9B=0,2A+6B+9C=0
所以A...
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设特解为y*=(Ax^2+Bx+C)e^x
则y*'=(Ax^2+(2A+B)x+(B+C))e^x
y*''=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C))e^x
所以Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)+4Ax^2+(8A+4B)x+(4B+4C)+4Ax^2+4Bx+4C=2x^2
所以9A=2,12A+9B=0,2A+6B+9C=0
所以A=2/9,B=-8/27,C=4/27
所以y*=(2/9*x^2-8/27*x+4/27)e^x
（其实我个人设特解的时候是靠感觉的……）
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