作业帮已知AC,BD为园O:X^2+Y^2=4的两条互相垂直的玄,AC,BD交于点M(1,根号2）则四边形ABCD面积最大为? 求过程~谢啦~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:58:51
已知AC,BD为园O:X^2+Y^2=4的两条互相垂直的玄,AC,BD交于点M(1,根号2）则四边形ABCD面积最大为? 求过程~谢啦~
已知AC,BD为园O:X^2+Y^2=4的两条互相垂直的玄,AC,BD交于点M(1,根号2）则四边形ABCD面积最大为? 求过程~
谢啦~
已知AC,BD为园O:X^2+Y^2=4的两条互相垂直的玄,AC,BD交于点M(1,根号2）则四边形ABCD面积最大为? 求过程~谢啦~
解法1：
想象一下：如果两条互相垂直的弦并不分别与两条互相垂直的坐标轴平行,我们可以将坐标轴旋转适当的角度,使得其中一条弦平行于x轴,另一条弦平行于y轴.
而这两条弦的交点的轨迹是x²+y²=3；
不妨设这个交点为（√3Cosθ,√3Sinθ）(θ∈[0,2π))
平行于x轴的弦的长度为a=2√(2²-(√3Cosθ)²)
同理：平行于y轴的弦的长度为b=2√(2²-(√3Sinθ)²)
ab=4√(4-3Cos²θ)(4-3Sin²θ)
=4√(16-12(Sin²θ+Cos²θ)+9Sin²θCos²θ)
=4√(4+9/4(2SinθCosθ)²)
=4√(4+9/4Sin²2θ)
≤4√(4+9/4*1)(当θ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4时等号成立)
=10
四边形ABCD的面积S=1/2(AM*MB+BM*MC+CM*MD+DM*MA)
=1/2(AM+MC)(BM*MD)
=1/2*AC*BD
=1/2ab
=5
解法2：
不用解析法的方法来求解,如图：
AC丄BD于M,OE丄AC于E,OF丄BD于F
AC=2√(4-OE^2)
BD=2√(4-OF^2)
四边形ABCD最大值即为AC*BD/2
而OE^2+OF^2
=OM^2
=(1^2+(√2)^2)
=3
所以AC*BD
=2√((1+OE^2)(4-OE^2))
=2√(-(OE^2-1.5)^2+6.25)<=2√6.25
=5
解法3：
就是求两弦乘积最大
设原点到两弦距离分别为D,d,
则D²＋d²=3,
面积=1/2×2√4－D²×2√4－d²
=2√(4-D²)(4-d²)
<=4-D²＋4-d²
=8-(D²＋d²)
=5
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