作业帮X1.X2是方程X^2-2aX+a+b的两实数根.求(X1-1)^2+(X2-1)^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:30:12
X1.X2是方程X^2-2aX+a+b的两实数根.求(X1-1)^2+(X2-1)^2的最小值
X1.X2是方程X^2-2aX+a+b的两实数根.求(X1-1)^2+(X2-1)^2的最小值
X1.X2是方程X^2-2aX+a+b的两实数根.求(X1-1)^2+(X2-1)^2的最小值
首先方程有根Δ=4a²-4(a+b)≥0即a+b≤a²
X1+X2=2a x1x2=a+b
(x1-1)²+(x2-1)²
=x1²+x2²-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)²-2x1x2-2(x1+x2)+2
=4a²-2(a+b)-4a+2
≥4a²-2a²-4a+2=2a²-4a+2=2(a-1)²≥0
故最小值为0
取得最小值时a=1 a+b=a²
故此时a=1 ,b=0
原方程是x²-2x+1=0
x1=x2=1
本题若是填空题的话,可以做得更快一点
所求式是两个完全平方的和,一定是大于或等于0的,如果能取到0的话,那最小值就是0
两个完全平方的和要等于0,那只能都为0,则有x1=x2=1
由韦达定理知X1+X2=2a x1x2=a+b
故有2a=2,a+b=1 解得a=1,b=0
验证下来是可以的,故最小值就是0
最小值是0
首先
(X1-1)^2+(X2-1)^2≥0
再 (X1-1)^2+(X2-1)^2
= （x₁＋x₂）²－2(x₁＋x₂)-2x₁x₂+2, 由方程知x1+x2=2a x1*x2=a+b，代入得
原式=4a²-6a－2b＋2 再有...
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首先
(X1-1)^2+(X2-1)^2≥0
再 (X1-1)^2+(X2-1)^2
= （x₁＋x₂）²－2(x₁＋x₂)-2x₁x₂+2, 由方程知x1+x2=2a x1*x2=a+b，代入得
原式=4a²-6a－2b＋2 再有方程有实数解，得△=(-2a)^2-4(a+b)≥0 ，a^2≥a+b，即b≤a^2－a
∴原式≥4a²-6a－2（a^2－a）＋2
=2(a^2-2a+1)
=2(a-1)^2
≥0
∴最小值为0，此时a=1，b=0，X1=X2=1，成立。
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