导数应用——优化问题!一条长为L的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两端铁丝的长度分别是多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 11:29:08
导数应用——优化问题!一条长为L的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两端铁丝的长度分别是多少?

导数应用——优化问题!一条长为L的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两端铁丝的长度分别是多少?
导数应用——优化问题!
一条长为L的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两端铁丝的长度分别是多少?

导数应用——优化问题!一条长为L的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两端铁丝的长度分别是多少?
设分别长为x,L-x,
则这两个正方形的边长为x/4,(L-x)/4
则这两个正方形的面积为:x^2/16,(L-x)^2/16
它们的面积和为:x^2/16+(L-x)^2/16=(L^2-2Lx+2x^2)/16
[用导数解:(L^2-2Lx+2x^2)/16 的最小值]
设f(x)=(L^2-2Lx+2x^2)/16
f'(x)=-2L+4x
令f'(x)

设一段的长度为x,则另一段为L-x,面积和为S
则S=x^2/16 + (L-x)^2/16
=(L-2xL-2x^2)/16
令:U=L-2xL-2x^2 求导得u=-4x-2L 令u=0
解得x=L/2
(注 ^2表示平方。)

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