作业帮大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题1+2+3+…+10=?经过研究,这个问题一般性的结论是1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n(n+1)=?观察下面
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 15:47:24
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题1+2+3+…+10=?经过研究,这个问题一般性的结论是1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n(n+1)=?观察下面
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题1+2+3+…+10=?经过研究,这个问题一般性的结论是1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n(n+1)=?
观察下面三个特殊的等式：
1×2=1/3（1×2×3-0×1×2）
2×3=1/3（2×3×4-1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5=20
读完这段材料,请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101
（2）1×2+2×3+…+n(n+1)
（3）1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)
我的分数不多,见谅见谅~
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题1+2+3+…+10=?经过研究,这个问题一般性的结论是1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其中n是正整数,现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n(n+1)=?观察下面
∑[i=1,n] i = n(n+1)/2
∑[i=1,n] i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
∑[i=1,n] i^3 = n^2(n+1)^2/4
（1）
1×2+2×3+…+100×101
=∑[i=1,100] i + ∑[i=1,100] i^2
=100*101/2 + 100*101*201/6
=5050+338350
=343400
（2）
1×2+2×3+…+n(n+1)
=∑[i=1,n] i + ∑[i=1,n] i^2
= n(n+1)/2 + n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(n+2)/3
（3）
1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)
=∑[i=1,n] i^3 + 3∑[i=1,n] i^2 + 2∑[i=1,n] i
=n^2(n+1)^2/4 + 3*n(n+1)(2n+1)/6 + 2n(n+1)/2
=n^2(n+1)^2/4 + n(n+1)(2n+1)/2 + n(n+1)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4