求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按（1）等价关系；（2）合同关系；（3）相似关系；（4）正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按（1）等价关系；（2）合同关系；（3）相似关系；（4）正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,
设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按（1）等价关系；（2）合同关系；（3）相似关系；（4）正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第一个等价类的标准形矩阵.
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按（1）等价关系；（2）合同关系；（3）相似关系；（4）正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
(1) 任意矩阵总可以由初等变换化为[Er,0;0,0],其中r是矩阵的秩.
由于初等变换保持矩阵的秩,所以对不同的r,[Er,0;0,0]属于不同的等价类.
于是[Er,0;0,0],r = 0,1,2,...,n,给出了矩阵的相抵标准型.
又[Er,0;0,0]也是实对称阵,所以实对称阵包含所有的n+1个相抵等价类.
相抵标准型就是[Er,0;0,0],r = 0,1,...,n.
(2) 实对称阵合同等价于[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分别为正负惯性指数.
合同变换保持惯性指数,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]给出了实对称阵的合同标准型.
满足p+q ≤ n的有序非负整数对(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2组.
即共有(n+2)(n+1)/2个合同等价类.
(3)(4)可以一起说,因为实对称阵一定(正交)相似于实对角阵,
而两个对角阵(正交)相似当且仅当特征值完全相同(不计次序).
因此实对称阵的(正交)相似标准型为对角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的实对角阵.
等价类有无穷多个.