尊敬的专家您好,二次型化简献上f（x1,x2,.,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+.+x(n-2)x(n-1)+x(n-1)xn不准使用高等的特征值之类的知识用合同矩阵把它生生化出来,要分类讨论的,貌似是4类2007年9月有个数学家提出了新

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 00:13:03

尊敬的专家您好,二次型化简献上f（x1,x2,.,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+.+x(n-2)x(n-1)+x(n-1)xn不准使用高等的特征值之类的知识用合同矩阵把它生生化出来,要分类讨论的,貌似是4类2007年9月有个数学家提出了新
尊敬的专家您好,二次型化简献上
f（x1,x2,.,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+.+x(n-2)x(n-1)+x(n-1)xn
不准使用高等的特征值之类的知识
用合同矩阵把它生生化出来,要分类讨论的,貌似是4类
2007年9月有个数学家
提出了新的关于正定二次型的判别方法
您能描述一下么

尊敬的专家您好,二次型化简献上f（x1,x2,.,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+.+x(n-2)x(n-1)+x(n-1)xn不准使用高等的特征值之类的知识用合同矩阵把它生生化出来,要分类讨论的,貌似是4类2007年9月有个数学家提出了新
这个好麻烦, 有点晚了哈

(1) n=2 时, f1=x1x2
令x1=y1+y2,x2=y1-y2, 则 f1=y1^2-y2^2
y1=(x1+x2)/2
y2=(x1-x2)/2

(2) n=3 时, f2=x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2,x3=y3
f2 = y1^2-y2^2+y1y3-y2y3
= (y1+y3/2)^2-(y2+y3/2)^2
=z1^2-z2^2
z1=y1+y3/2=(x1+x2+x3)/2
z2=y1-y3/2=(x1-x2+x3)/2
z3=y3=x3.

(3) n=4 时, f3=x1x2+x2x3+x3x4
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2,x3=y3,x4=y4
f = y1^2-y2^2+y1y3-y2y3+y3y4
= (y1+y3/2)^2-(y2+y3/2)^2+y3y4
=z1^2-z2^2+z3z4
=w1^2-w2^2+w3^2-w4^2
w1=z1=y1+y3/2=(x1+x2+x3)/2
w2=z2=y1-y3/2=(x1-x2+x3)/2
w3=(x3+x4)/2
w4=(x3-x4)/2

由此规律可归纳证明:
当n是偶数时, f=y1^2-y2^2+y3^2-y4^2+...+yn-1^2-yn^2
yi = (xi+xi+1+xi+2)/2 (i=1,3,5,...,n-3)
yi = (xi-1-xi+xi+1)/2 (i=2,4,6,...,n-2)
yn-1=(xn-1+xn)/2
yn = (xn-1-xn)/2

当n是奇数时, f=y1^2-y2^2+y3^2-y4^2+...+yn-2^2-yn-1^2
yi = (xi+xi+1+xi+2)/2 (i=1,3,5,...,n-3)
yi = (xi-1-xi+xi+1)/2 (i=2,4,6,...,n-2)
yn = xn