线性代数问题.伴随矩阵等于1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 04:14:47

线性代数问题.伴随矩阵等于1
线性代数问题.伴随矩阵

等于1

线性代数问题.伴随矩阵等于1
用到以下几个常用结论.
1. 相似的矩阵的特征值相同.
2. 矩阵的行列式等于其全部特征值的乘积.
3. 若可逆矩阵A的特征值为λ1, λ2,..., λn, 则A^(-1)的特征值为λ1^(-1), λ2^(-1),..., λn^(-1).
4. 若A的特征值为λ1, λ2,..., λn, 则aA+bE的特征值为a·λ1+b, a·λ2+b,..., a·λn+b.
5. A的伴随矩阵满足A·A* = |A|·E, 若A可逆, 有A* = |A|·A^(-1).
先求
1 1 2
1 -1 0
0 0 1
的特征值.
这个可以直接求, 也可以由其分块上三角的形式简化为求
1 1
1 -1
的特征值.
这里只写结果: 1, √2, -√2.
由结论1, A的特征值也为1, √2, -√2.
由结论2, A的行列式为-2.
由结论3, A^(-1)的特征值为1, √2/2, -√2/2.
由结论5, A* = -2·A^(-1), A*+E = -2·A^(-1)+E.
由结论4, A*+E的特征值为-1, 1-√2, 1+√2.
再由结论2, |A*+E| = (-1)(1-√2)(1+√2) = 1.
有一些其它方法, 本质上是一样的, 例如:
相似矩阵有相同的特征多项式, 于是f(λ) = |λE-A| = (λ-1)(λ²-2).
相似矩阵有相同的行列式, 于是|A| = -2.
所求式|A*+E|乘以|A|得:
|A|·|A*+E| = |AA*+A| = ||A|·E+A| = (-1)^n·|-|A|·E-A| = -f(-|A|) = -f(2) = -2.
故|A*+E| = 1.

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