高数,数列极限证明题已知：任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证：Xn→a（n→∞）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 05:34:16

高数,数列极限证明题已知：任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证：Xn→a（n→∞）
高数,数列极限证明题
已知：任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证：Xn→a（n→∞）

高数,数列极限证明题已知：任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证：Xn→a（n→∞）
任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有数列Xn的有限多项,设这有限项的最大下标是正整数N,则当n＞N时,所有的Xn都在区间(a+ε,a-ε)内,即|Xn-a|＜ε,所以Xn→a (n→∞)

不就是收敛半径的问题吗？

用反证法
假设Xn不收敛到a
则有：
存在ε0，任意N>0，存在n0>N，有|Xn0-a|>ε0
就即：存在n0>N，有Xn0不属于(a-ε0，a+ε0)
又有N的任意性，因此可得到一无穷数列（Xn子列）：Xn0i，
皆有Xn0i不属于(a-ε0，a+ε0)，i=1，2，…
与任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn矛盾

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