求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 13:07:17

求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解
求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解

求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解
(2x+y)dx=-xdy
2x+y+xdy/dx=0
dy/dx=-(2+y/x)
设u=y/x,齐次方程dy/dx=u+xdu/dx
u+xdu/dx=-(2+u)
xdu/dx=-2(1+u)
du/(-2(1+u))=dx/x
d(1+u)/(-2(1+u))=dx/x
两边同时积分得
-0.5ln(1+u)=lnx+lnC
ln(1+u)=ln(Cx)^(-2)
u=(Cx)^(-2)-1
y/x=(Cx)^(-2)-1
y=C/x-x
C为常数
方法二：
dy/dx+y/x=-2
y=(∫-2e^(∫dx/x)dx+C)e^(-∫dx/x)
y=(∫-2e^(lnx)+C)e^(-lnx)
y=(∫-2xdx+C)/x
y=(∫-2xdx+C)/x
y=(-x^2+C)/x
y=C/x-x

x^2+xy=C

（此题最简单的方法：全微分法）
∵（2x+y)dx+xdy=0 ==>2xdx+ydx+xdy=0
==>d(x²)+d(xy)=0
==>d(x²+xy)=0
==>x²+xy=C (C是积分常数)
∴原微分方程的通解是x²+xy=C (C是积分常数)

用matlab求dsolve('Dy=-2-y/x','x')
y=-x+1/x*C1

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