作业帮已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 07:11:01
已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
∵a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
∴2（a²+b²+c²+d²）-2ab-2bc-2cd-2da=0
∴（a-b）²+（b-c）²＋（c-d）²+（d-a）²=0
由非负数的性质可知：（a-b）=0,（b-c）=0,（c-d）=0,（a-d）=0
∴a=b=c=d
∴四边形为菱形．
菱形证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）
=-[2a2+2b2+2c2+2d2-2ab-2bc-2cd-2da]
=[（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2]≥0，
当且仅当a=b=c=d时，等号成立。
答：
a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
两边同时乘以2有：
2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
(a²-2ab+b²)+(a²-2da+d²)+(b²-2bc+c²)+(c²-...
全部展开
答：
a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
两边同时乘以2有：
2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
(a²-2ab+b²)+(a²-2da+d²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2cd+d²)=0
所以：
(a-b)²+(a-d)²+(b-c)²+(c-d)²=0
所以：
a-b=0
a-d=0
b-c=0
c-d=0
解得：a=b=c=d
所以：四边形ABCD是菱形
因为：其中一个角是直角
所以：四边形ABCD是正方形
收起
因为a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
所以2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
所以(a-b)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(c-d)^2=0
那么a=b,a=d,b=c,c=d
所以a=b=c=d
且一个角度为直角，所以
正方形