作业帮证明函数y=xcosx在（0,+无穷）内无界,但当x→+无穷时.这函数不是无穷大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:26:38
证明函数y=xcosx在（0,+无穷）内无界,但当x→+无穷时.这函数不是无穷大
证明函数y=xcosx在（0,+无穷）内无界,但当x→+无穷时.这函数不是无穷大
证明函数y=xcosx在（0,+无穷）内无界,但当x→+无穷时.这函数不是无穷大
可以告诉你一个定理：一个有界量与一个无界量的乘积是无界量.
X趋于无穷大,而cosx的值域是[-1,1],并且周期.所以y的值在负无穷大到正无穷大.
无穷大的定义 ：无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数.
但是在x的变化过程中,y的绝对值并不是一直增大,在cosx等于0时,y等于0,它是一个跳跃函数.所以它不是无穷大.
哎哟！很想帮你，但都还给老师了~
分别讨论x=np和x=(n+1/2)p两种情况.由前者可知为无界,由后者可知不为无穷大.(p为圆周率)
假设y=xcosx在x>0时是有界的，于是就存大一个数t>0，对于所有的x均有：|y|<=M=|tcost|=|t||cost|
我们再令x=t+2∏,于是有y=(t+2∏)cos(t+2∏)
而此时，有|y|=|t+2∏||cost|>|t||cost|=M
这与假设相矛盾,所以有函数y=xcosx在x>0时，是无界的。
我们可以令x=k∏+∏/2,于是有y=0....
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假设y=xcosx在x>0时是有界的，于是就存大一个数t>0，对于所有的x均有：|y|<=M=|tcost|=|t||cost|
我们再令x=t+2∏,于是有y=(t+2∏)cos(t+2∏)
而此时，有|y|=|t+2∏||cost|>|t||cost|=M
这与假设相矛盾,所以有函数y=xcosx在x>0时，是无界的。
我们可以令x=k∏+∏/2,于是有y=0.
所以有当x→+无穷时,即k→+无穷时,此时y恒等于0。并不是无穷大。
所以有函数y=xcosx当x→+无穷时。这函数不是无穷大。
收起
假设他有界，则有|y|=|xcosx|<=M,
取x=([2M/PAI]+1)*PAI/2时，|y|=|xcosx|=|x|，[]内取整的意思；
而此时显然|x|>M;
假设不成立；
随着X的增加，原函数实际上是在正负无穷大之间震荡的，所以极限不存在但无界