作业帮一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P（a,b)的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 18:41:52
一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P（a,b)的轨迹方程.
一道关于曲线和方程的题目
已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P（a,b)的轨迹方程.
一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P（a,b)的轨迹方程.
根据韦达定理解题目
sinβ + cosβ = a
sinβ * cosβ = b
第一个式子平方
1 + 2 sinβ * cosβ = a^2
所以
1 + 2b = a^2
b = (a^2 -1)/2
在求定义域
sinβ + cosβ = a
√2 (sinβcos45 + cosβsin45) = a
√2 sin(β + π/4) = a
|β|≤π/4
0 ≤β + π/4 ≤ π/2
sin(β + π/4) ∈ [0,1]
a ∈ [0,√2]
因此 P（a,b)的轨迹方程
b = (a^2 - 1)/2
其中 a ∈ [0,√2]
此轨迹为 抛物线的 一部分
根据条件sinβ,cosβ是方程x^2-ax+b=0的两根(两个根，有可能相同，有可能相异），则判别式 ⊿ =（-a)^2 - 4*b ≥ 0
sinβ^2 + cosβ^2 = 1 ;
（sinβ + cosβ)^2 - 2*sinβ*cosβ = 1，根据韦达定理将两根和两根积代入可以得到另一个关系)
求得 a^2 - 4*b ≥ 0 和 a^2 -2*b - 1 ...
全部展开
根据条件sinβ,cosβ是方程x^2-ax+b=0的两根(两个根，有可能相同，有可能相异），则判别式 ⊿ =（-a)^2 - 4*b ≥ 0
sinβ^2 + cosβ^2 = 1 ;
（sinβ + cosβ)^2 - 2*sinβ*cosβ = 1，根据韦达定理将两根和两根积代入可以得到另一个关系)
求得 a^2 - 4*b ≥ 0 和 a^2 -2*b - 1 = 0；
通过a^2 - 4*b = 0 和 a^2 -2*b - 1 = 0 求交点，得出轨迹为 a^2 -2*b - 1 = 0 （-根2，+根2)之间的一段抛物线弧。
收起
-a=sinβ+cosβ..............(1)
b=sinβ*cosβ................(2)
(1)式两边平方得a^2=1+2sinβ*cosβ=1+2b
故P点的轨迹方程为a^2=1+2b
又因为|β|≤π/4，所以-a=sinβ+cosβ>=0
所以a=<0
故P点的轨迹方程为a^2=1+2b (a=<0)
由韦达定理知
sinβ+cosβ=a
sinβcosβ=b
而1=(sinβ)^2+(cosβ)^2=(sinβ+cosβ)^2-2sinβcosβ=a^2-2b
即b=1/2（a^2-1）
由|β|≤π/4知
a=sinβ+cosβ=sprt(2)sin(β+π/4) sprt(x)是x的算术平方根
a的取值范围是[0,sprt(2)]
综上
轨迹为b=1/2（a^2-1），a取[0,sprt(2)]
韦达定理解
sinβ + cosβ = a
sinβ * cosβ = b
得到满足的条件下,
判别式 ⊿ =（-a)^2 - 4*b ≥ 0 自然就会满足,不需要去考证