作业帮复数z,同时满足|z-4|=|z-4i|,z + (14-z)/(z-1)是实数,则复数z等于（）?答案是0或3+3i 或 -2-2i
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 03:03:08
复数z,同时满足|z-4|=|z-4i|,z + (14-z)/(z-1)是实数,则复数z等于（）?答案是0或3+3i 或 -2-2i
复数z,同时满足|z-4|=|z-4i|,z + (14-z)/(z-1)是实数,则复数z等于（）?
答案是0或3+3i 或 -2-2i
复数z,同时满足|z-4|=|z-4i|,z + (14-z)/(z-1)是实数,则复数z等于（）?答案是0或3+3i 或 -2-2i
设z=a+bi
|z-4|=|z-4i|,z + (14-z)/(z-1)是实数
所以(a-4)^2+b^2=a^2+(b-4)^2
a^2-8a+16+b^2=a^2+b^2-8b+16
-8a=-8b
a=b
又因为
a+bi+(14-a+bi)/(a-1+bi)
=a+bi+{(14-a)(a-1)+b^2+[(a-1)b-(14-a)b]i}/[(a-1)^2+b^2]
所以b+[(a-1)b-(14-a)b]/[(a-1)^2+b^2]=0
因为a=b
所以a+(a^2-a-14a+a^2)/(2a^2-2a+1)=0
2a^3-2a^2+a+2a^2-15a=0
所以a=0 或 -2 或3
b=0 或 -2 或3
所以答案是0或3+3i 或 -2-2i
第二部分进行修正
a+bi+(14-a-bi)/(a-1+bi)
=a+bi+{(14-a)(a-1)-b^2-[(a-1)b+(14-a)b]i}/[(a-1)^2+b^2]
所以b-[(a-1)b+(14-a)b]/[(a-1)^2+b^2]=0
因为a=b
所以a-(a^2-a+14a-a^2)/(2a^2-2a+1)=0
2a^3-2a^2+a-13a=0
所以a=0 或 -2 或3
b=0 或 -2 或3
所以答案是0或3+3i 或 -2-2i
考虑复数平面内得点
|z-4|=|z-4i|表示Z点到4 和 4i距离相等
也就是说Z点落在4 和 4i的中垂线上面 所以z肯定使a+ai的形式
z+(14-z)/(z-1)=a+ai+(14-a+ai)/(a+ai-1)是实数
所以虚部=a+(a^2-a-14a+a^2)/(2a^2-2a+1)=0
所以a=0 或 -2 或3
所以z是0或3+3i 或 -2-2i