作业帮RT:已知递推公式求通项公式,如果已经知道了递推公式如何求通项公式,不要网站,文字说明最好多点,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 13:12:19
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（1）
特殊二次型:a[n+1]a[n]+pa[n+1]+qa[n]+r=0
这种类型的特征方程为:x²+(p+q)x+r=0
从而px+r=-x(q+x)
所以(px+r)/(q+x)=-x
将二次型写成递推式形式:
a[n+1]=-(qa[n]+r)/(a[n]+p)
（2）
倒数型:a[n+1]=a[n]/(qa[n]+p)
这种形式有个很明显的特点,做倒代换b[n]=1/a[n]可以转换为前面的标准形式:b[n+1]=pb[n]+q
特征方程x=px+q,
(1)当p≠1时,特征值x=q/(1-p)
b[n+1]-x=pb[n]+q-x=p(b[n]-x)+px+q-x=p(b[n]-x)
所以b[n]-x=(b[1]-x)p^(n-1)
b[n]=(b[1]-x)p^(n-1)+x
(2)当p=1时,此时即为等差数列,b[n]=b[1]+(n-1)q
（3）
常系数型:a[n+2]=p*a[n+1]+q*a[n]
此类递推式常和高次方程联系在一起,由于最高阶a[n+2]比最低阶a[n]高2,所以此类也叫2阶递推式,其对应的特征方程是x²=px+q,也就是:x²-px-q=0
作换元p=x1+x2,q=-x1x2
不难看出x1,x2是方程x²-px-q=0的两个根
则a[n+2]=(x1+x2)a[n+1]-x1x2*a[n]
a[n+2]-x1*a[n+1]=x2*(a[n+1]-x1*a[n])
由此可以看出来{a[n+1]-x1*a[n]}是一个以x2为公比的等比数列
从而a[n+1]-x1*a[n]=(a[2]-x1*a[1])*x2^(n-1)