高中数学圆锥曲线习题,求详解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 22:54:30

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过双曲线x²-y²/2=1的右焦点F作直线L,交双曲线于A,B两点,若∣AB∣=3,则这样的直线L的条数为?
双曲线参数：a=1,b=√2,c=√3；F(√3,0)；
设过F的直线L的方程为y=k(x-√3),代入双曲线方程得:
2x²-k²(x-√3)²-2=(2-k²)x²+2(√3)k²x-3k²-2=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则x₁+x₂=2(√3)k²/(k²-2)；x₁x₂=(-3k²-2)/(2-k²)=(3k²+2)/(k²-2).
于是∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[12k⁴/(k²-2)²-4(3k²+2)/(k²-2)]}=3
(1+k²)[12k⁴/(k²-2)²-4(3k²+2)/(k²-2)]=9
(1+k²)[12k⁴-4(k²-2)(3k²+2)]-9(k²-2)²=0
展开化简得7k⁴+68k²-20=0
分解因式得(7k²-2)(k²+10)=0
故得k²=2/7,k=±√(2/7)；k²=-10(无解)
因此这样的直线L的条数为2,故应选B.

算算是不是通径,是通径则一个,不是通径则两个

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