作业帮用导数求方程的值域怎样用导数求方程求：y=3x/(x*x+4)的值域?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:54:30
用导数求方程的值域怎样用导数求方程求：y=3x/(x*x+4)的值域?
用导数求方程的值域
怎样用导数求方程求：y=3x/(x*x+4)的值域?
用导数求方程的值域怎样用导数求方程求：y=3x/(x*x+4)的值域?
y'=[3(x²+4)-3x*2x]/(x²+4)²=3(4-x²)/(x²+4)²
令y'≥0解得-2≤x≤2
令y'≤0解得x≥2或x≤-2
∴函数在区间[-2,2]在单调递增,在区间(-∞.-2]U[2,+∞)上单调递减
当x=-2时,y=3*(-2)/[(-2²)+4]=-3/4
当x=2时,y=3*2/[2²+4]=3/4
∴当x≤-2时,y≥-3/4
当-2≤x≤2,-3/4≤y≤3/4
当x≥2时,y≤3/4
综上所述,值域为[-3/4,3/4]
y'=3[(x^2+4)-x*(2x)]/(x^2+4)^2=3(4-x^2)/(x^2+4)^2
可见当x=±2时,y'=0;
x∈R;分别判断当x∈(-∞,-2),x∈[-2,2] 和 x∈(2,+∞)时的单调性(过程从略)
并求出:
lim(x→-∞)y =0;
lim(x→+∞)y =0;
而
y(x=-2)=-3/4;
y(x=2)=3/4;
则:
值域是 [-3/4,3/4]
不用导数更简单。分子分母除以x之后，利用基本不等式就可以了