怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 10:29:50

怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?
怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?

怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?
设X服从标准正态分布,概率密度为f(x)=1/(√2π)*e^(-x^2/2),x取任意实数
则∫f(x)dx,(积分下上限是负无穷和正无穷）,就是概率密度函数图像与x轴所围成的面积
根据概率密度的性质可得∫f(x)dx=1,(积分下上限是负无穷和正无穷）
∫f(x)dx=∫1/(√2π)*e^(-x^2/2)dx (积分下上限是负无穷和正无穷）
直接积分不好积
假设Y也服从标准正态分布,且X,Y相互独立,则有
∫f(x)dx*∫f(y)dy=∫∫f(x)f(y)dxdy,积分下上限是负无穷和正无穷
用x=√2u,y=√2v,代入上式可得
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr,前面的积分下上限是0和2π,后面的是0和正无穷
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr=1/π*π=1
因为∫f(x)dx=∫f(y)dy
所以可得∫f(x)dx=∫f(y)dy=1
所以
正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1
解毕

怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1? 用excel怎样做标准正态分布概率密度函数曲线正态分布问题已知X是N（0,1）的正态分布.那么X^-2 的概率密度函数是什么? 概率题设已知变量X服从正态分布N设已知变量X服从正态分布N（10,0.5²）,另Y=200X+185,试求Y的概率密度函数与概率P{2070 matlab中如何生成符合双峰正态分布的随机数已知双峰正态分布的概率密度函数如下所示：如何用matlab生成10000个随机数X,使其符合上述的双峰正态分布? 已知X是标准正态分布,求X的平方的概率密度函数如题若随机变量X服从正态分布N(1,0.25),则2X的概率密度函数是什么? 已知x服从标准正态分布求ax的概率密度函数 a是常数怎样用MATLAB 画正态分布的概率密度函数图 n维正态分布的概率密度函数是多少? 设随机变量X满足正态分布,在X的概率密度函数f（x）图形中其峰值是什么值, 已知x属于标准正态分布,即X~N(0,1),求Y~X^2的概率密度函数pdf 求三维正态分布概率密度函数多元正态分布如图,现要求三维的即三元正态分布的. 设连续随机变量X服从标准正态分布N(0,1),求Y=1-2X的概率密度函数乘以常数_____将使e^(-x^2+x-1/4)变成正态分布的概率密度函数? 设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,其概率密度1/50π证明X与Y相互独立详见图片求X,Y是否独立` 为什么这里可以直接将条件概率密度看成是一个正态分布的函数密度? 对于标准正态分布,怎样求P{|X|>2}的概率?