过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 07:10:59
过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程

过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程
过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程

过点P(1,4)的直线在两个坐标轴上的截距都为正,且截距之和最小,则直线的方程
设截距是a和b
则x/a+y/b=1
过P
1/a+4/b=1
a+b=(a+b)(1/a+4/b)
=1+4a/b+b/a+4
a>0,b>0
所以4a/b+b/a>=2√(4a/b*b/a)=4
当4a/b=b/a时取等号
b²=4a²
所以b=2a
代入1/a+4/b=1
1/a+2/a=1
a=3,b=6
所以是2x+y-6=0

设在x轴上截距为a,在y轴上截距为b
由基本不等式得a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取=
∴直线过(a,0),(0,a)
即斜率k为-1,带入p(1,4)得y=-x+5.

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