作业帮设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a,an+1＝Sn＋3n,n∈N*(Ⅰ)设bn＝Sn－3n,求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 06:36:29
设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a,an+1＝Sn＋3n,n∈N*(Ⅰ)设bn＝Sn－3n,求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．
设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a,an+1＝Sn＋3n,n∈N*
(Ⅰ)设bn＝Sn－3n,求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．
设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a,an+1＝Sn＋3n,n∈N*(Ⅰ)设bn＝Sn－3n,求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．
(1)an+1＝Sn＋3n
当n大于2时 sn-sn-1=an
an=Sn-1+3（n-1）
两等式相减an+1-an=sn-sn-1+3
an+1+3=2(an+3)
数列{an+3}是以a+3为首项2为公比的等比数列
an+3=（a+3）*2^n-1
Bn=Sn-3n=an+1-6n=(a+3)*2^n-6n-3
(2)an+1≥an an=（a+3）*2^n-1-3
an+1=（a+3）*2^n-3
所以2（a+3）>a+3
a>-3
：（Ⅰ）依题意，Sn 1-Sn=an 1=Sn 3n，即Sn 1=2Sn 3n，
由此得Sn 1-3n 1=2Sn 3n-3n 1=2（Sn-3n）．（4分）
因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．①（6分）
（Ⅱ）由①知Sn=3n （a-3）2n-1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=3n （a-3）×2n...
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：（Ⅰ）依题意，Sn 1-Sn=an 1=Sn 3n，即Sn 1=2Sn 3n，
由此得Sn 1-3n 1=2Sn 3n-3n 1=2（Sn-3n）．（4分）
因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．①（6分）
（Ⅱ）由①知Sn=3n （a-3）2n-1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=3n （a-3）×2n-1-3n-1-（a-3）×2n-2=2×3n-1 （a-3）2n-2，
an 1-an=4×3n-1 （a-3）2n-2=2n−2[12•(
3
2
)n−2 a−3]，
当n≥2时，an 1≥an⇔12•(
3
2
)n−2 a−3≥0⇔a≥-9．
又a2=a1 3＞a1．
综上，所求的a的取值范围是[-9， ∞）．
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