作业帮一道函数有界性证明题证明：若f（x）在（-∞,+∞）内连续,且lim x->∞ f(x)存在,则f（x）必在（-∞,+∞）内有界
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 14:42:02
一道函数有界性证明题证明：若f（x）在（-∞,+∞）内连续,且lim x->∞ f(x)存在,则f（x）必在（-∞,+∞）内有界
一道函数有界性证明题
证明：若f（x）在（-∞,+∞）内连续,且lim x->∞ f(x)存在,则f（x）必在（-∞,+∞）内有界
一道函数有界性证明题证明：若f（x）在（-∞,+∞）内连续,且lim x->∞ f(x)存在,则f（x）必在（-∞,+∞）内有界
lim x->∞ f(x)存在是指lim x->+∞ f(x)跟lim x->-∞ f(x)都存在且≠∞吗?
如果只是指lim x->+∞ f(x)存在,那f(x)=e^(-x)无界
如果是指两边都有界,那么：
简单的说,因为lim x->+∞ f(x)跟lim x->-∞ f(x)都存在,
所以存在N>0,对任意的x满足|x|>N,f(x)有界
而f(x)连续所以f(x)在闭区间[-N, N]上有界
所以f（x）在（-∞,+∞）内有界
因为f(x)连续，所以|x|<∞时，f(x)有界
而x->∞,f(x)有界
所以x->-∞，至少有1个界
因为lim(x->∞)f(x)存在，设极限为A，故存在E>0使得当|x|>E时
|f(x)-A|<1，于是当|x|>E时，|f(x)|<=|f(x)-A|+A
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