作业帮若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)×f(y)成立,且当x＜0时,f(x)＞1.(1)求证：f(x)＞0.(2)求证：f(x)为减函数.(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)×f(5)≤1/4.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:22:29
若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)×f(y)成立,且当x＜0时,f(x)＞1.(1)求证：f(x)＞0.(2)求证：f(x)为减函数.(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)×f(5)≤1/4.
若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)×f(y)成立,且当x＜0时,f(x)＞1.
(1)求证：f(x)＞0.
(2)求证：f(x)为减函数.
(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)×f(5)≤1/4.
若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)×f(y)成立,且当x＜0时,f(x)＞1.(1)求证：f(x)＞0.(2)求证：f(x)为减函数.(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)×f(5)≤1/4.
1.
令y=0
f(x+y)=f(x)=f(x)·f(0)
[f(0)-1]·f(x)=0
x1 f(x)≠0,要等式成立,只有
f(0)=1 /那个热心网友的回答一开始就错了,f(0)=1,而不是f(0)=0
令y=-x
f(x+y)=f(x)·f(-x)=f(0)=1>0
x0
f(x)>1>0,又f(x)·f(-x)>0,要不等式成立,只有f(-x)>0,即x>0时,f(x)>0
综上,得f(x)>0
2.
令y=△x △x>0
f(x-△x)=f(x)·f(-△x)
△x>0 -△x1,又f(x)>0,因此f(x)·f(-△x)>f(x)
f(x-△x)>f(x),函数是单调递减函数.
3.
f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=[f(2)]²=1/16
f(x)>0 f(2)>0
f(2)=1/4
f(x-3)·f(5)≤1/4
f(x-3+5)≤f(2)
f(x+2)≤f(2)
函数是减函数,x+2≥2
x≥0
f(x y)=f(x) f(y),
令x=y=0,则：f(0 0)=f(0) f(0),得：f(0)=0
令y=-x,则： f(x-x)=f(x) f(-x)
f(x) f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
函数为奇函数，关于原点对称，因x>0时，f(x)<0,f(x)
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f(x y)=f(x) f(y),
令x=y=0,则：f(0 0)=f(0) f(0),得：f(0)=0
令y=-x,则： f(x-x)=f(x) f(-x)
f(x) f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
函数为奇函数，关于原点对称，因x>0时，f(x)<0,f(x)
f(x-4) f(2-x²)=f(x-4 2-x²)
根据题中已知和减函数的性质，即求：x-2-x²>=-8
即 x²-x-6<=0
-2<=x<=3
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