证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 14:11:31

证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)
证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)

证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)
证明方程AX=0与A^TAX=0同解
AX=0 显然有A^T*AX=0
A^T*AX=0则有X^T*A^T*AX=0 即(AX)^T*AX=0,
一个矩阵和它的转置相乘是0,则矩阵是0.则有AX=0
同解说明基相同,基相同说明自由量数相等
n- r（A^T*A）=n-r（A）
则r（A^T*A）＝r（A）

还是去请教陈文灯吧~

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对任意矩阵A，有R(A'A)=R(AA')=R(A)
上面一位同学的回答是正确的，但他只证明了：
R(A'A)=R(A)
对于AA'来说，
有若方程：AA'x=0那么，x'AA'x=(A'x)'(A'x)=0
一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0。则有A'X=0
若A'x=0
有：AA'x=0
即AA'x=0 与A'x=0 同解。
所以：R(AA')=R(A')
再利用线性代数关于转置矩阵对结论，
R(A)=R(A')
记得证明：
R(A'A)=R(AA')=R(A)
下一次希望同学把A的转置写成：A'这样就不会出现理解为A的T此房的误解。（当然，A^T也不算错）。

收起

证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A) 证明：对任意实矩阵A,有r(ATA)=r(AAT)=r(A) 是否对任意实矩阵A,有r(ATA)=r(AAT)=r(A).如果是能否证明下. A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明设A为实矩阵,证明r(A^TA)=r(A) 已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论? G是m*r列满秩矩阵,对任意r*n矩阵A,恒有秩GA=秩A证明题设A为n阶实矩阵,A^T为A转置矩阵,证明：R（A）=R(A^TA)回答即使再给100分 (ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). 为什么r(A^TA)=r（A）=r（AA^T）怎么证明呢? 证明：对于矩阵A,B,有r(A+B)= A是m*n矩阵,A^TA为正定矩阵为什么⇒ R(A^TA)=n, 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 设n阶矩阵a可逆,则对任意的n*m矩阵B,有R(AB)=R(B) 这个对不设A是m*n实矩阵,若R=（A^TA)=5,则R(A)=? 设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定证明A B中有一个可逆矩阵,若A可逆,则R(AB)=R(B)=R(BA)