作业帮f(x)=(1+1/x)的x次方的函数的单调性怎么证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:24:29
f(x)=(1+1/x)的x次方的函数的单调性怎么证明?
f(x)=(1+1/x)的x次方的函数的单调性怎么证明?
f(x)=(1+1/x)的x次方的函数的单调性怎么证明?
楼上 瞎整,明明是增函数.
此函数的定义域是0到无穷大.所以只讨论x大于0的情形.
f(x)=(1+1/x)^(x)=x*e^(ln(1+1/x))
ln(f(x))'
=f(x)(-1)*f(x)'
=[xln(1+1/x)]'f(x)^(-1)
={x[ln(1+x)-lnx]}'f(x)^(-1)
=[ln(1+x)-lnx]+x[(1+x)^(-1)-1/x]f(x)^(-1)
令x'>0，,f(x+x')-f(x)=1+1/(x+x')-(1+1/x)=x'/(x+1)-1/X=-x'/x(x+1)<0
所以单调递减
设x>0,设△x为趋于0的正无穷小
ln(f(x+△x))-ln(f(x) ,△x->+0
=(x+△x)ln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x) ,△x->+0
=xln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x)+△xln(1+1/(x+△x)) ,△x->+0
=xln((x^2+x+△x*x)/(x^2+x+△x*x+△x))+△xln(1...
全部展开
设x>0,设△x为趋于0的正无穷小
ln(f(x+△x))-ln(f(x) ,△x->+0
=(x+△x)ln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x) ,△x->+0
=xln(1+1/(x+△x))-xln(1+1/x)+△xln(1+1/(x+△x)) ,△x->+0
=xln((x^2+x+△x*x)/(x^2+x+△x*x+△x))+△xln(1+1/(x+△x)) ,△x->+0
=xln (1-△x/(x+1))+△xln(1+1/x) ,△x->+0
=-x*△x/(x+1)+△xln(1+1/x) ,△x->+0
=△x(ln(1+1/x)-x/x+1) ,△x->+0
=△x(ln(1+1/x)-1+1/(x+1)) ,△x->+0
=△x(ln(1+1/x)-1)+△x/(x+1)>0 ,△x->+0
故ln(f(x)),x>0是增函数,
故f(x)单调递增,x>0。
:) 只是不知道中间有没有算错的部分，没检查。
收起
取对数，然后利用对数公式转化为：x[ln(1+x)-lnx]可见x大于零时，增函数