作业帮如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 15:44:03
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
如何证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
在圆锥中倒入沙子,再倒入一个等底等高的圆柱体里,发现三次正好倒完,说明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一.V等于SH.这是我们老师说的.谢谢采纳.采纳我啊..
可以将等地等高的圆柱和圆锥放在一起，然后把沙子放满圆锥再倒入圆锥，发现倒入三次正好满了
证明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一
这个要用到微积分。 用极限法可以推导： V＝1/3Sh（V＝1/3SH） S是底面积，h是高，r是底面半径。设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^...
全部展开
这个要用到微积分。 用极限法可以推导： V＝1/3Sh（V＝1/3SH） S是底面积，h是高，r是底面半径。设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一
Ps：小学时候，老师讲这个公式时并没有用积分证明，老师一般会用等底等高的圆柱圆锥模型，用圆锥模型装满沙子或水，倒入援助模型中，一共经过三次装满圆柱模型，证明了三分之一的结果。
收起
在圆锥中倒入沙子，再倒入一个等底等高的圆柱体里，发现三次正好倒完，说明圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一。V等于SH。这是我们老师说的。谢谢采纳。采纳我啊。。