设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 11:19:51

设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值
设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值

设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值
有句话,很珍惜的话,因为一年或许才能说一次,我想现在是该大声说出来的时候了,我要大叫……春节快乐：）

大学方法：拉格朗日乘子法
F(x,y,z)=x+2y+2z+k(x^2+y^2+z^2-1) 令
F'x=1+2kx=0 ①
F'y=2+2ky=0 ②
F'z=2+2kz=0 ③
x^2+y^2+z^2-1=0 ④
联立①②③④得x=1/3，y=2/3...

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大学方法：拉格朗日乘子法
F(x,y,z)=x+2y+2z+k(x^2+y^2+z^2-1) 令
F'x=1+2kx=0 ①
F'y=2+2ky=0 ②
F'z=2+2kz=0 ③
x^2+y^2+z^2-1=0 ④
联立①②③④得x=1/3，y=2/3，z=2/3
在点(1/3，2/3，2/3)处取最大值，即
x+2y+2z 的最大值为3

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1）如果您是初中生，可用二次函数的知识解答。
设x+2y+2z=k，则x=k-2y-2z代入x2+y2+z2=1
得 (k-2y-2z)2+y2+z2=1
(k2+4y2+4z2-4ky-4kz+8yz)+y2+z2=1
把y当成主元
得 5y2-4ky+8zy+5z2-4kz+k2-1=0
即 5y2-(4k-8z)y+5z2-4kz+k2-1=0
因为 y是实数，即此方程有实数根
△=(4k-8z)2-4×5×(5z2-4kz+k2-1)≥0
4(k-2z)2-5(5z2-4kz+k2-1)≥0
4k2-16kz+16z2-25z2+20kz-5k2+5≥0
-9z2+4kz-k2+5≥0
设f(z)= -9z2+4kz-k2+5
则开口向下的的抛物线f（z）的顶点必在x轴上方或在x轴上
即顶点的纵坐标大于等于0
即【4×(-9)×(-k2+5)-(4k)2】/[4×(-9)]≥0
【二次函数y=ax2+bx+c的顶点（-b/2a，[4ac-b2]/4a）】
20k2-180≤0
k2≤9
-3≤k≤3
所以x+2y+2z最大值3
2）如果您是高中生，用柯西不等式很方便
三元柯西不等式：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≤(ax+by+cz)2（且仅当a/x=b/y=c/z时取等号）
所以 (12+22+22)(x2+y2+z2)≤(1×x+2×y+2×z)2
即 9×1≤(x+2y+2z)2
-3≤x+2y+2z≤3
所以x+2y+2z最大值3

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设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值设x2+y2+z2＝1,求x+2y+2z的最大值设x,y,z∈R+,求证 2z2-x2-y2/(x+y)+2x2-y2-z2/(y+z)≥x2+z2-2y2/(x+z) 设x,y,z∈R+,求证 2z2-x2-y2/(x+y)+2x2-y2-z2/(y+z)≥x2+z2-2y2/(x+z) 已知x+y+z=0 求x2+y2-z2分之一加x2+z2-y2分之一加y2+z2-x2分之一2是平方 x+2y+3z+4w=1,求x2+y2+z2+w2+(x+y+z+w)2最小值已知x,y,z是实数,且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值已知x,y,z是实数,且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值. 实数x,y,z,若x2+y2=1,y2+z2=2,z2+x2=2,则xy+yz+zx的最小值是怎求已知：x/2=y/3=z/4,求（x2+y2-z2-2xy）/（x2-y2+z2-2xz）除以（x2-y2-z2+2yz)/(x2+y2-z2+2xy) 已知：x/2=y/3=z/4,求（x2+y2-z2-2xy）/（x2-y2+z2-2xz）除以（x2-y2-z2+2yz)/(x2+y2-z2+2xy) 设x+y+z=1,则F=2X2+y2+3z2的最小值为? 设x,y,z属于R,且（2x+y-z)/(根号下（X2+2y2+z2))的最大值若x,y,z满足x2+2y2+z2≤2xy-2y+4Z,求x,y,z 1.x2+2y2=1 求x+2y最值2.x+2y-3z=1 求x2+2y2+3z2最小值化简求值已知X+Y+Z=0 ,求（1/Y2+Z2-X2）+（1/Z2+X2-Y2）+1/X2+Y2-Z2）的值 x2+y2+z2=25,求x-2y+2z的最大值和最小值已知,x/2=y/3=z/4,求xy+yz+zx/x2+y2+z2?????