作业帮设a=2005*2006*2007*2008+1 ,请你判断a是不是一个完全平方数 （这道题要把2005设为X,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:44:17
设a=2005*2006*2007*2008+1 ,请你判断a是不是一个完全平方数 （这道题要把2005设为X,
设a=2005*2006*2007*2008+1 ,请你判断a是不是一个完全平方数 （这道题要把2005设为X,
设a=2005*2006*2007*2008+1 ,请你判断a是不是一个完全平方数 （这道题要把2005设为X,
设2005＝X,则
a=2005*2006*2007*2008+1
＝X（X＋1）（X＋2）（X＋3）＋1
＝（X＾2＋3X）（X＾2＋3X＋2）＋1
＝（X＾2＋3X）＾2＋2（X＾2＋3X）＋1
＝（X＾2＋3X＋1）＾2
所以a是一个完全平方数
令x=2005，
a=x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=x(x+3)(x+1)(x+2)+1
=(x²+3x)(x²+3x+2)+1
=(x²+3x)²+2(x²+3x)+1
=(x²+3x+1)²
=2005×2006×2007×2008+1
=(2006-1)*(2006+1)*(2007-1)(2007+1)+1
=(2006^2-1)*(2007^2-1)+1
=2006^2*2007^2-2007^2-2006^2+1+1
=(2006*2007)^2-2*2006*2007+1+2*2006*2007-2007^2-2006^2+1
...
全部展开
=2005×2006×2007×2008+1
=(2006-1)*(2006+1)*(2007-1)(2007+1)+1
=(2006^2-1)*(2007^2-1)+1
=2006^2*2007^2-2007^2-2006^2+1+1
=(2006*2007)^2-2*2006*2007+1+2*2006*2007-2007^2-2006^2+1
=(2006*2007-1)^2-(2006-2007)^2+1
=(2006*2007-1)^2-1+1
==(2006*2007-1)^2
所以a是2006*2007的平方
其实对于任意的4个连续自然数乘积,加上1,都是完全平方数,可以证明的.
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