一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 16:08:08
一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根

一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根
一道高中数论题
设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根

一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根
证:
先证明一个引理:对于x的整系数多项式f(x)以及不同的两个整数a,b,有a-b|f(a)-f(b)
f(a)-f(b)的常数项为0
设f(x)中含有p·x^j这一项,其中j≥1,由a-b|a^j-b^j可得,a-b|pa^j-pb^j
即a-b整除f(a)-f(b)中每一组同次对应项的差,于是引理得证
回到原题
设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=±17,其中a,b,c,d,e为互不相同的整数
设f(x)=0,显然x≠a,b,c,d,e,我们只需证明x不为整数
假设x为整数
则x-a,x-b,x-c,x-d,x-e为互不相同的整数
由引理,有x-a|f(x)-f(a),x-b|f(x)-f(b),…,x-e|f(x)-f(e)
所以x-a| |f(x)-f(a)|,x-b| |f(x)-f(b)|,…,x-e| |f(x)-f(e)|
而|f(x)-f(a)|=|f(x)-f(b)|=…=|f(x)-f(e)|=17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e都为17的约数
但17只有4个约数,即±1,±17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e不可能互不相同,矛盾
故原假设错误,即x不为整数
证毕

一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根 [紧急求助]设a是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且b=0.5(a^2+a-2).若h(x)是一个有理系数的二次多项...[紧急求助]设a是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且b=0.5(a^2+a-2).若h(x)是一个有理系数的二次多 问一道高中求定义域的题目,谢谢设f(2^x-1)=2x-1,则f(x)的定义域是? 求一道高中函数题的全过程设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x²-x,则f(x)=? 一道数论题求 x^2 - y^2 =4400 的所有非负整数解. 一道概率论题 设二维随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)=e^-(x+y),x>=0,y>=0; 计算E(x+y) 一道高中函数类数学题.设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,如果不等式f(1-ax-x^2) 一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确 一道高中函数填空题!设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),f(-1)=2,则f(2008)= 设f(x)是整系数多项式且f(0),f(1)都是奇数,证明f(x)没有有理根 很简单的一道高中数学题,有能力的进!设函数f(x)的定义域是R,对于任x>0时,0 一道高中数学题(直线的方程)设f(x)=min(2x+3,x+2,-2x+11),求f(x)的最大值. 求高手做一道高中微积分的题设f(x)=xlnx-x(1)求f'(x)和S[上面是e,下面是1](lnx+1)dx(2)设0 一道高数选择题,求解答,谢谢!单选题:设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 ( )A.当f(x)是奇函数时,F(x)必为偶函数B.当f(x)是偶函数时,F(x)必为奇函数C.当f(x)是周期函数时,F(x)必为周期 概率论题.求1、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)= Ae^x ,x=00,x 一道挑战性题 按(x-4)的幂展开多项试f(x)=x^4-5x^3+x^2-3x+4 1.求f(x)=2x^4+5x^3-x^2+5x-3的整系数一次因式2.分解6x^4+5x^3+3x^2-3x-2整系数质因式的连乘积?3.设f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+9为一整系数多项式,且可表为四个相异的整系数一次因式之连乘积,则数对 4.若a、b、c 一道傅里叶系数高等数学题设函数f(x)是以2π为周期的连续函数,a0,an,bn(n=1,2,…)为其傅氏系数,求函数F(x)的傅氏系数.