已知1+ 根号下3 是方程一元二次X^2+pX+q=0的一个根,p、q是有理数,求方程的另一个根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 01:32:12
已知1+ 根号下3 是方程一元二次X^2+pX+q=0的一个根,p、q是有理数,求方程的另一个根

已知1+ 根号下3 是方程一元二次X^2+pX+q=0的一个根,p、q是有理数,求方程的另一个根
已知1+ 根号下3 是方程一元二次X^2+pX+q=0的一个根,p、q是有理数,求方程的另一个根

已知1+ 根号下3 是方程一元二次X^2+pX+q=0的一个根,p、q是有理数,求方程的另一个根
对于一元二次方程x²+px+q=0,其两根之和等于-p,两根之积等于q.
由于一个根已知为1+√3,而两个根的和是有理数,因此另外一个根的形式必定为a-√3(a为有理数).【要想化成有理数,√3的系数应当和为零】
两根之积为:(1+√3)·(a-√3)=a+(a-1)·√3-3=q,而q也是有理数,因此√3的系数(a-1)也必定为零,因此a=1.
所以该方程的另外一个根是1-√3.
顺便推断p=-2,q=-2.

x1,2=1±√3,p=-2,q=-1/2

详细答案

设另一个根是m
则有:m+1+根号3=-P,m*(1+根号3)=q
由于p,q都是有理数,得到m必=k(1-根号3).k是整数.再考虑p是有理数,则得m必=1-根号3.
所以,另一根=1-根号3,q=1-3=-2,p=-2

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