作业帮已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1,根号2）,求ABCD的面积的最大最小值!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:27:13
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1,根号2）,求ABCD的面积的最大最小值!
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1,根号2）,求ABCD的面积的最大最小值!
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1,根号2）,求ABCD的面积的最大最小值!
因为,四边形ABCD的两对角线垂直.面积为S
因此,S（ABCD）=1/2（AC*BD）
现在 M（X,Y）=M（1,√2）
AC=2√（R²-Y²）=2√（4-2）=2√2
BD=2√（R²-X²）=2√（4-1）=2√3
所以
S（ABCD）=1/2（AC*BD）=1/2（2√2*2√3）=2√6
∵M的坐标为﹙1，√2﹚，
∴OM²＝1²＋﹙√2﹚²＝3，
设对角线垂直四边形ABCD的面积为S
①当AC=BD时，则O到AC、BD的距离相等，
设这个距离为d，则d²＋d²＝OM²＝3，
即﹙1/2AC﹚²＝2²－3/2＝5/2，
∴S＝1/2AC·BD＝1/2·A...
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∵M的坐标为﹙1，√2﹚，
∴OM²＝1²＋﹙√2﹚²＝3，
设对角线垂直四边形ABCD的面积为S
①当AC=BD时，则O到AC、BD的距离相等，
设这个距离为d，则d²＋d²＝OM²＝3，
即﹙1/2AC﹚²＝2²－3/2＝5/2，
∴S＝1/2AC·BD＝1/2·AC²＝5；
②若其中一条弦经过OM时，
此弦即为直径，其长为4；另一弦长为2，
∴S＝1／2×2×4＝4。
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差是5－4＝1。
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【注：（1）易知，对角线互相垂直的四边形，其面积等于两对角线积的一半。即S(abcd)=|AC|*|BD|/2.(2)设原点O到直线AC的距离为d1,原点O到直线BD的距离为d2.易知，d1²+d2²=|0M|²=3.===>d1²+d2²=3.===>0≤d1²≤3.(3)由垂径定理及勾股定理可知，|AC|=2√(4-d1²)...
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【注：（1）易知，对角线互相垂直的四边形，其面积等于两对角线积的一半。即S(abcd)=|AC|*|BD|/2.(2)设原点O到直线AC的距离为d1,原点O到直线BD的距离为d2.易知，d1²+d2²=|0M|²=3.===>d1²+d2²=3.===>0≤d1²≤3.(3)由垂径定理及勾股定理可知，|AC|=2√(4-d1²).|BD|=2√(4-d2²).===>S(abcd)=2√[(4-d1²)(4-d2²)]=2√[(4-d1²)(d1²+1)]=2√{-[d1²-(3/2)]²+(25/4)}(0≤d1²≤3).===>Smax=5,Smin=4.
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