作业帮m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2因该是(a^2+b^2)/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:07:12
m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2因该是(a^2+b^2)/2
m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2
因该是(a^2+b^2)/2
m、n是奇偶性相同的自然数,求证 (a+b)/2.(a^2+b2)/2.(a^3+b^3)/2因该是(a^2+b^2)/2
柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≤(ac+bd)^2
则(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2
[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]/2≤根号{[a^（m+n）+b^（m+n）]/2}
即[根号a^(m+n)+根号b^(m+n)]^2≤2a^（m+n）+b^（m+n）
所以(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
根据上一个不等式问题(2)成立.
1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)≤1/2(a^3+b^3)
1/2(a^3+b^3)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
所以1/2(a+b)*1/2(a^2+b^2)*1/2(a^3+b^3)≤1/2(a^6+b^6)
如果对柯西不等式不清楚,可以上网查找,很容易找到,并且柯西不等式很有用!
其实有一个更加一般的结论：
m,n是奇偶性相同的自然数,求证：(a^m+b^m)*(a^n+b^n)≤2(a^m+n+b^m+n)
分析:(a^m+b^m)(a^n+b^n)
=a^(m+n)+a^m*b^n+a^n*b^m+b^(m+n)
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m*b^n+a^n*b^m)
=a^(m+n)-a^m*b^n-a^n*b^m+b^(m+n)
=a^m(a^n-b^n)-b^m*(a^n-b^n)
=(a^n-b^n)(a^m-b^m)
=(a-b)^2*[a^(m-1)+a^(m-2)b+a^(m-3)b^2+.+b^(n-1)]*
[a^(n-1)+a^(n-2)b+.+b^(n-1)]
因为(a-b)^2>=0,在a,b是正实数,m,n是自然数的情况下,
a^m*b^n+a^n*b^m=