高中数学 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．

高中数学 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．
高中数学 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．

高中数学 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．
将方程整理为：
x^3+ax^2+2ax+2x-ax^2-a^2x-2a^2-2a=0
x(x^2+ax+2a+2)-a(x^2+ax+2a+2)=0
(x-a)(x^2+ax+2a+2)=0
于是立即得到方程的第一个根：x-a=0,即x1=a；
由于题目要求有三个整数根,所以a必定是整数.
x^2+ax+2a+2=0,
要使方程有实数根,其判别式
△=a^2-4(2a+2)
=a^2-8a-8
=(a-4)^2-24≥0,
即(a-4)^2≥24,
由于a为整数,得a≥9或a≤-1.
要使方程有整数根,则判别式必须是完全平方数,所以令
△=(a-4)^2-24=M^2,（M为正整数）
即：(a-4)^2-M^2=24
(a-4+M)×(a-4-M)=2×2×2×3
由于(a-4+M)+(a-4-M)=2(a-4),为偶数,所以(a-4+M)、(a-4-M)的奇偶性相同,即同为奇或同为偶,由于它们的乘积为24,偶数,所以它们同为偶,可知(a-4+M)>(a-4-M),所以相应的有以下几种分12×2、6×4、-4×(-6)、-2×(-12)；
因此有四种情形：
情形一：
a-4+M=12
a-4-M=2
上两式相加,得：2(a-4)=14,解得：a=11,
上两式相减,得：2M=10,解得M=5,则△=M^2=25；
此时方程三个整数根为：x1=11,x2=-3,x3=-8；
情形二：
a-4+M=6
a-4-M=4
上两式相加,得：2(a-4)=10,解得：a=9,
上两式相减,得：2M=2,解得M=1,则△=M^2=1；
此时方程三个整数根为：x1=9,x2=-4,x3=-5；
情形三：
a-4+M=-4
a-4-M=-6
上两式相加,得：2(a-4)=-10,解得：a=-1,
上两式相减,得：2M=2,解得M=1,则△=M^2=1；
此时方程三个整数根为：x1=-1,x2=1,x3=0；
情形四：
a-4+M=-2
a-4-M=-12
上两式相加,得：2(a-4)=-14,解得：a=-3,
上两式相减,得：2M=10,解得M=5,则△=M^2=25；
此时方程三个整数根为：x1=-3,x2=4,x3=-1；
综上,满足要求的所有实数a的值是：11、9、-1、-3.

设有函数Y=X^3+(-a^2+2a+2)x 对其求导函数得Y`=3x^2-a^2+2a+2 使Y`=0 得3x^2-a^2+2a+2=0 假使函数有解 首先应该有b^2-4ac=a^2-2a-2>0 由此不等式解得a>1+3^(1/2) 或 a<1-3^(1/2) …………同时因为a要取整 即是a<-1 或 a>3 最后解得 x1=+[（a^2-2a-2)/3]^(1/2),x2=-...

全部展开

设有函数Y=X^3+(-a^2+2a+2)x 对其求导函数得Y`=3x^2-a^2+2a+2 使Y`=0 得3x^2-a^2+2a+2=0 假使函数有解 首先应该有b^2-4ac=a^2-2a-2>0 由此不等式解得a>1+3^(1/2) 或 a<1-3^(1/2) …………同时因为a要取整 即是a<-1 或 a>3 最后解得 x1=+[（a^2-2a-2)/3]^(1/2),x2=-[（a^2-2a-2)/3]^(1/2) (a<-1或a>3) 方程要有三个整数根 即是要 函数Y的曲线与直线y=2a^2+2a相交于三点 将x的解代入原函数Y再列不等式 Y(x1)<2a^2+2a3联立。

收起

zqs626290 - 总监 八级 的答案是最好了，这是显然的

易知，x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=(x-a)(x^2+ax+2a+2).由此及题设可知，a为整数且x^2+ax+2a+2能分解为两个整系数的一次式，即2a+2能分解为两个整数的积，且这两个整数和恰是a.不妨设m+n=a,mn=2a+2.(a,m,n均是整数）===>mn=2(m+n)+2.===>n=2+[6/(m-2)].易知，m-2=±1,或±2,或±3,或±6,===>...

全部展开

易知，x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=(x-a)(x^2+ax+2a+2).由此及题设可知，a为整数且x^2+ax+2a+2能分解为两个整系数的一次式，即2a+2能分解为两个整数的积，且这两个整数和恰是a.不妨设m+n=a,mn=2a+2.(a,m,n均是整数）===>mn=2(m+n)+2.===>n=2+[6/(m-2)].易知，m-2=±1,或±2,或±3,或±6,===>(m,n)=(-4,1),(8,3),(5,4),(-1,0),(4,5),(0,-1),(3,8),(1,-4).====>a=m+n=-3,-1,9,11.

收起