设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 00:26:30
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵.

设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵.
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；

2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵.

设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵.
(1) AB=BA等价于(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)
把P^{-1}AP取成对角阵即可,接下去自己动手算
(2) 方法同上,取P1使得P1^{-1}AP1是对角阵,并且额外地把P1^{-1}AP1按特征值排列成diag{aI,bI,cI,...},然后用分块乘法验证P1^{-1}BP1也是分块对角阵,再把每块都对角化即可

第二问，S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi...

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第二问，S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵

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设A,B为n阶矩阵且A+B＝E,证明：AB＝BA 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B) 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证r(A+B) 已知A,B均为N阶矩阵,且A2-AB=E,证明R(AB-BA-A)=N A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA 矩阵题目证明,要详细过程设A,B为n阶方阵,且AB=A—B ,证明AB=BA 设A,B均为n阶对称矩阵,证明:AB+BA也为n阶对称矩阵.如何证? 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A是秩数为r的n阶矩阵,证明有n阶矩阵B使得秩(B)=n-r,且AB=BA=0.(会证AB=0,但不会AB=BA=0） 设A,B是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA相似. 设A,B为n阶矩阵,且E-AB可逆,证明E-BA设A,B为n阶矩阵,且E-AB可逆,证明E-BA也可逆 已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 设A,B为n阶实正定矩阵,AB=BA且A^2=B^2,证明A=B.