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汽车停止距离的模型
摘要：本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的.分析本题后可知,汽车所停止的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离,可表示为： 分别建立出反应距离、制动距离与速度 的模型,此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合,最后得所需的模型.得到模型后,对模型的可行性代入实际数据进行模型检验,且在Matlab7.6中实现,并根据结果对所得模型进行优化,最终得到了一个比较令人满意的结果.
关键字：反应距离 制动距离 最小二乘法 数据的最小二乘拟合
1问题重述
一辆汽车停止距离可分为两段,一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离 ,这段时间称为反应时间.另一段则为制动时间驶过的距离 .现考核司机,考核结果如下：
行驶速度
36 Km/h 3 m 4.5 m
50 Km/h 5 m 12.5 m
70 Km/h 7 m 24.5 m
(1) 求出停车距离D的经验公式.
(2) 设制动力正比于车重,建立理论分析模型,并求出D的公式.
2 符号说明及基本假设
2.1 符号说明：
—— 车辆停止时所驶过的总距离 （米）
——反应距离 （米）
——制动距离 （米）
——汽车的行驶速度 （千米/小时）
——制动力与车重的比例
——反应距离与速度的比例
——刹车后汽车停止所需的时间
——刹车后某一时刻车辆移动的距离
——加速度
——汽车质量
——制动力
——制动距离与 的比例
——偏差的平方和
——常数
2.2 基本假设
（1）所得的数据真实可靠；
（2）忽略天气、汽车性能等因素的影响.
3模型的建立、分析与求解
3.1.1采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形,代码如下：
>> V=[36 50 70];
>> D=[7.5 17.5 31.5];
>> plot(V,D),xlabel('V'),ylabel('D'),grid on,title('汽车停车距离D与速度V的关系图形')
可得其图形为：

图1
则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系,故可设停车距离D的经验公式为：
3.1.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：
根据题目所给的数据可得：




36 3 4.5 7.5
50 5 12.5 17.5
70 7 24.5 31.5
表1
根据表1数据,在Matlab中输入代码如下：
>> V=[36 50 70];
>> D=[7.5 17.5 31.5];
>> A=polyfit(V,D,1)
A =
0.7055 -17.8516
故可得：
所以停车距离D的经验公式为：
3.2.1汽车在反应时间里的速度可认为是匀速运动,故可得反应距离： = V
3.2.2采用最小二乘法求解该关系式：
令M=
欲使所得M的值最小,则应满足：
从中可解得 .(1)
根据题目所给的数据可得：




36 3 1296 108
50 5 2500 250
70 7 4900 490

156 15 8696 848
表2
由表2的数据可得： ,
将以上所得数据代入（1）可得：
所以反应距离：
3.2.3制动距离 与速度 的关系式：
由题意可知,制动力正比于车重,故可设：F= m.(2)
又由牛顿第二运动定律得：F= .(3)
由运动规律得： .(4)
联立（2）、（3）、（4）三式可得：
对上式两边同时进行积分得： .(5)
当t=0时, ,将之代入(5)式得：
当 时, ,将之代入（5）是式得：
又由运动规律可知： .(6)
将（6）式代入（5）式得：
对上式两边同时进行积分得： .(7)
当t=0时,S=0,将之代入（7）式得：
当 时, ,将之代入（7）式得：
所以 正比于 ,故可令：
对上式两边分别取对数得：
3.2.4采用最小二乘法求解该关系式：
令
欲使所得M的值最小,则应满足：
即得： .(8)
根据题目所给的数据可得：


3.5835 1.5041
3.9120 2.5257
4.2485 3.1987

11.7440 7.2285
表3
根据表3数据可知： ,
将以上所得数据代入（8）可得：
即得
故 与 的关系式为：
所以停车距离D的公式为：
4 模型的检验、评价与优化
4.1对第一个模型的检验：
第一个模型：
在Matlab中输入代码如下：
>> syms D V
>> x=[36 50 70];
>> y=[7.5 17.5 31.5];
>> V=18:0.1:85;
>> D=0.7055*V-17.8516;
>> plot(x,y,'r*',V,D);grid
可得其图形为：

图2
根据图2可知,该模型的图像恰好经过了这三点,但由于该模型是根据经验数据所得出的,并没有经过理论分析,所以所得模型是比较的粗糙,跟实际有出入,不适合推广.
4.2对第二个模型的检验：
第二个模型：
在Matlab中输入代码如下：
>> syms D V
>> x=[36 50 70];
>> y=[7.5 17.5 31.5];
>> V=18:0.1:85;
>> D=0.097516*V+0.004428*V.^2;
>> plot(x,y,'r*',V,D);grid
可得其图形为：

图3
根据图3知,虽然第二个模型并没有经过这三个点,但这三个点均比较的靠近该图形.考虑到实际所测得的数据有存在误差,据此所得的模型应该与实际比较的符合.再者,该模型是根据理论充分的论证、分析所得,与实际相吻合.又易知,当速度 时,停车距离 .综上所述,第二个模型与实际比较的符合.第二个模型结合了理论,又通过了实际数据的检验,所以较第一个模型而言适合推广.
如果能够得到更多的实际数据,那么,模型就能够得到进一步的验证.
4.3.1对第二个模型的优化：
为了能够得到更好的拟合曲线,我们可以对第二个模型进行适当的优化,可设停车距离D与速度V的关系式为：
4.3.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：
在Matlab输入代码如下：
>> V=[36 50 70];
>> D=[7.5 17.5 31.5];
>> A=polyfit(V,D,2)
A =
-0.0004 0.7504 -18.9706
故可得：
所以所得的优化模型为：
4.3.2对所得的优化模型进行检验：
优化模型：
在Matlab中输入代码如下：
>> syms D V
>> x=[36 50 70];
>> y=[7.5 17.5 31.5];
>> V=18:0.01:85;
>> D=-0.0004*V.^2+0.7504*V-18.9706;
>> plot(x,y,'r*',V,D);grid
可得其图形为：

图4
根据图4知,优化模型的拟合度非常的高,但应该要注意的一点是,当汽车速度为零时,该模型预测汽车的停止距离为 .
采用Matlab求解该模型的根,在Matlab中输入代码如下：
> syms D V
>> D=[-0.0004,0.7504,-18.9706];
>> V=roots(D)
V =
1.0e+003 *
1.8504
0.0256
所以仅当 时, .故该模型所应用的范围不大.
参考文献
[1]赵静,但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社,2000.
[2]Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox.数学建模(叶其孝,姜启源等译）.北京：机械工业出版社,2005.
[3]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社,2003.
[4]谢云荪,张志让.数学实验.北京：科学出版社,1999.
[5]张德丰.Matlab数值分析与应用.北京：国防工业出版社,2007.

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