求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 21:31:08
求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)

求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)
求证一道数学归纳法的题
求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)

求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)

当n=1时,原式显然成立

若n=k时,此式成立,即

 ……(1)成立

  那么考虑n=k+1,原式相应地变成

……(2)

(2)-(1)的左边,得

,

=0,所以(2)-(1)的左边<0,所以(2)<1依然成立.

由1、2两点可以归纳得原式对一切自然数均成立

当n=1时,S1=1/2+1/3<1,命题成立;
假设当n=k时,命题成立,即Sk=1/(k+1)+1/(k+2)+........+1/(2k+1) <1,
当n=k+1时,
S(k+1)
=1/(k+2)+1/(k+3)+........+1/(2k+1)+1/(2k+2) +1/(2k+3)
=Sk+1/(2k+2) +1/(2k+3) -1/(k+...

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当n=1时,S1=1/2+1/3<1,命题成立;
假设当n=k时,命题成立,即Sk=1/(k+1)+1/(k+2)+........+1/(2k+1) <1,
当n=k+1时,
S(k+1)
=1/(k+2)+1/(k+3)+........+1/(2k+1)+1/(2k+2) +1/(2k+3)
=Sk+1/(2k+2) +1/(2k+3) -1/(k+1)
=Sk+1/(2k+3) -1/(2k+2)
命题成立。
综上,n为自然数时, 1/(n+1)+1/(n+2)+........+1/(2n+1) <1。

收起

  1. 当n=1时,原式显然成立

  2. 若n=k时,此式成立,即

 ……(1)成立

  那么考虑n=k+1,原式相应地变成

……(2)

(2)-(1)的左边,得

=0,所以(2)-(1)的左边<0,所以(2)<1依然成立。

由1、2两点可以归纳得原式对一切自然数均成立

收起

何必如此复杂。∵n为自然数,∴1/(n+2)<1/(n+1),........1/[n+(n+1)]<1/(n+1)
∴1/(n+1)+1/(n+2)+........+1/(2n+1)<(n+1)/(n+1)=1

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