操作与探究：如图1,在正方形ABCD中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处,将三角板绕O点旋转,三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．（1）①试猜想PE、PF之间的大小

操作与探究：如图1,在正方形ABCD中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处,将三角板绕O点旋转,三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．（1）①试猜想PE、PF之间的大小
操作与探究：
如图1,在正方形ABCD中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处,将三角板绕O点旋转,三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．
（1）①试猜想PE、PF之间的大小关系,并证明你的结论；
②求四边形PEBF的面积；
（2）现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点,（如图2）PE、PF之间的大小关系是否改变?并说明理由．若BP长为a,试用含有a的代数式表示四边形PEBF的面积S
（3）如果将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD,其中AB=2,AD=3,PE、PF之间的大小关系是否改变?如果不变,请说明理由；如果改变,请直接写出它们之间的关系.

操作与探究：如图1,在正方形ABCD中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处,将三角板绕O点旋转,三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．（1）①试猜想PE、PF之间的大小
（1）PE＝PF.
证明：过点P作PM垂直于AB于M,PN垂直于BC于N,于是
在直角三角形PEM和PFN中,

（1）①PE=PF．
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形
∴BD平分∠ABC
∵PM⊥AB且PN⊥BC
∴PM=PN
在四边形BEPF中
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∴Rt△PEM≌...

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（1）①PE=PF．
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形
∴BD平分∠ABC
∵PM⊥AB且PN⊥BC
∴PM=PN
在四边形BEPF中
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∴Rt△PEM≌Rt△PFN（AAS）
∴PE=PF；
②
由①可得：
四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积
∴S四边形PEBF=1
（2）不会改变
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N
∵ABCD是正方形
∴BD平分∠ABC
∵PM⊥AB且PN⊥BC
∴PM=PN
在四边形BEPF中
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∴Rt△PEM≌Rt△PFN（AAS）
∴PE=PF
S四边形PEBF=S正方形PMBN=a²/2
（3）PE:PF=3:2
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∵∠PME=∠PNF=90°
∴△PEM∽△PFN
∴PE:PF=PM:PN
∵PM∥AD
∴PM:AD=BP:BD
∵PN∥CD
∴PN:CD=BP:BD
∴PM:AD=PN:CD
∴PM:PN=AD:CD=3:2
∴PE:PF=3:2

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（1）PE=PF 

如图 证明RT△PNE≌RT△PMF 就行

面积为1个平方单位 旋转RT△PMF至RT△PNE  正方形ONBM 

（2）相等

正方形面积等于对角线平方的一半 S=a²的一半

（3）证明RT△PNE∽RT△PMF 成比例关系

（1）PE=PF．
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF...

全部展开

（1）PE=PF．
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF；
（2）由（1）知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．
∵BO=OD，OM∥AD，
∴BM=AM=1．
∴S四边形PEBF=1；
（3）不会改变．理由如下：
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF．

收起