试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 07:59:20

试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.

试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
证明：（1）若n为奇数,设n=2k+1,k为大于2的整数,则写
n=k+（k+1）,由于显然（k,k+1）=1,故此表示合乎要求.
（2）若n为偶数,则可设n=4k或4k+2,k为大于1的自然数.
当n=4k时,可写n=（2k-1）+（2k+1）,并且易知2k-1与2k+1互质,因为,若它们有公因子d≥2,则d|2,但2k-1与2k+1均为奇数,此不可能.
当n=4k+2时,可写n=（2k-1）+（2k+3）,并且易知2k-1与2k+3互质,因为,若它们有公因子d≥2,设2k-1=pd,2k+3=qd,p、q均为自然数,则得（q-p）d=4,可见d|4,矛盾.

若是奇数（2m+1），可以分成m和（m+1）
不解释
若是偶数（2m）
——m是偶数可以分成（m-1）和（m+1）——不解释
——m是奇数可以分成（m-2）和（m+2）
解释一下：若|a-b|和a(或b)互质，则a，b互质。
因为4和任何大于1奇数互质，所以，所以第二条也就可以理解了
当然，最重要的是要大于6。...

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若是奇数（2m+1），可以分成m和（m+1）
不解释
若是偶数（2m）
——m是偶数可以分成（m-1）和（m+1）——不解释
——m是奇数可以分成（m-2）和（m+2）
解释一下：若|a-b|和a(或b)互质，则a，b互质。
因为4和任何大于1奇数互质，所以，所以第二条也就可以理解了
当然，最重要的是要大于6。

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若N为奇数，则它可以表示为2n+1的形式，而2n+1又可以表示为n与n+1的和，是两个连续自然数，两个连续自然数一定互质。（n不等于1时也行）
若N为偶数，则它可以表示为2n的形式，若2n/2为偶数，2n可以表示为n-1与n+1的和，是两个连续奇数，一定为自然数，互质；若2n/2为奇数，2n可以表示为n-2与n+2的和，是两个相差4的奇数，奇数（除1外）加4一定为自然数，互质。...

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比如说7吧，2和5是互质数，和是7
8:3和5是互质数，它们的和是8
9以此类推
10
11
。。。。。。。。。。。。。