求解微分方程.y'=-k(y-(15.5-0.7x)),k是常数,y(0) = 23.4

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 07:43:59

求解微分方程.y'=-k(y-(15.5-0.7x)),k是常数,y(0) = 23.4
求解微分方程.y'=-k(y-(15.5-0.7x)),k是常数,y(0) = 23.4

求解微分方程.y'=-k(y-(15.5-0.7x)),k是常数,y(0) = 23.4
（1）当k=0时,y'=0 ==>y=C (C是积分常数)
∵y(0) = 23.4
∴C=23.4
故满足所给初始条件的特解是y=23.4
（2）当k≠0时,
先解齐次方程y'=-ky的通解
∵y'=-ky ==>dy/y=-kdx
==>ln│y│=-kx+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Ce^(-kx)
∴齐次方程y'=-ky的通解是y=Ce^(-kx)
于是,根据常数变易法,设原微分方程的解是y=C(x)e^(-kx) (C(x)表示关于x的函数)
代入原方程,得C'(x)e^(-kx)=k(15.5-0.7x)
==>C'(x)=k(15.5-0.7x)e^(kx)
∴C(x)=k∫(15.5-0.7x)e^(kx)dx
=k{[(15.5-0.7x)e^(kx)]/k+(0.7/k)∫e^(kx)dx} (应用分部积分法)
=(15.5-0.7x)e^(kx)+0.7e^(kx)/k+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是y=15.5-0.7x+0.7/k+Ce^(-kx)
∵y(0) = 23.4
∴15.5+0.7/k+C=23.4 ==>C=7.9-0.7/k
故满足所给初始条件的特解是y=15.5-0.7x+0.7/k+(7.9-0.7/k)e^(-kx).

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