作业帮若使a^2+2002a是一个完全平方数,则最大正整数a等于?（2003年河南省初三数学竞赛题）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 19:33:47
若使a^2+2002a是一个完全平方数,则最大正整数a等于?（2003年河南省初三数学竞赛题）
若使a^2+2002a是一个完全平方数,则最大正整数a等于?
（2003年河南省初三数学竞赛题）
若使a^2+2002a是一个完全平方数,则最大正整数a等于?（2003年河南省初三数学竞赛题）
设a²+2002a=k² (k为正整数)
那么a²+2002a+1001²=k²+1001²
∴(a+1001)²-k²=1001²
∴(a+1001+k)(a+1001-k)=1001²
所以,若a最大
a+1001+k=1001²
a+1001-k=1
∴2a+2002=1001²+1
2a=1002002-2002
∴a=500000
设a^2+2002a=b^2
a^2+2002a+1001^2=b^2+1001^2
(a+1001)^2=b^2+1001^2
设a+1001、b、1001分别是直角三角形的三边，其中a+1001是斜边，由于a要尽量大，所以设1001是最小的边。
由于斜边要尽量大，而且三边长度都是整数，那么有b=a+1001-1，即另一条直角边比斜边小1，得方程：
(a+...
全部展开
设a^2+2002a=b^2
a^2+2002a+1001^2=b^2+1001^2
(a+1001)^2=b^2+1001^2
设a+1001、b、1001分别是直角三角形的三边，其中a+1001是斜边，由于a要尽量大，所以设1001是最小的边。
由于斜边要尽量大，而且三边长度都是整数，那么有b=a+1001-1，即另一条直角边比斜边小1，得方程：
(a+1001)^2-(a+1000)^2=1001^2
a^2+2002a+1001^2-a^2-2000a-1000^2=1001^2
2a=1000^2
a=500000
所以得解.
收起
是这样的
设a²+2002a=k² (k为正整数)
那么a²+2002a+1001²=k²+1001²
∴(a+1001)²-k²=1001²
∴(a+1001+k)(a+1001-k)=1001²
所以，若a最大
a+1001+k=1001²...
全部展开
是这样的
设a²+2002a=k² (k为正整数)
那么a²+2002a+1001²=k²+1001²
∴(a+1001)²-k²=1001²
∴(a+1001+k)(a+1001-k)=1001²
所以，若a最大
a+1001+k=1001² ①
a+1001-k=1 ②
∴①+② 得 2a+2002=1001²+1
2a=1002002-2002
∴a=500000
收起