四道积分题目(1)积分:(0,1)lnx/(1-x)dxps:上限1,下限0(2)连加号(n=1->无穷)1/[2^n(2n-1)](3)连加号:(n=1->无穷)ln(2+1/n)/根号[(3n-2)(3n+2)]的收敛性!(4)连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n判断其在[1/2,2]是不是一致收

四道积分题目(1)积分:(0,1)lnx/(1-x)dxps:上限1,下限0(2)连加号(n=1->无穷)1/[2^n(2n-1)](3)连加号:(n=1->无穷)ln(2+1/n)/根号[(3n-2)(3n+2)]的收敛性!(4)连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n判断其在[1/2,2]是不是一致收
四道积分题目
(1)积分:(0,1)lnx/(1-x)dx
ps:上限1,下限0
(2)连加号(n=1->无穷)1/[2^n(2n-1)]
(3)连加号:(n=1->无穷)ln(2+1/n)/根号[(3n-2)(3n+2)]
的收敛性!
(4)
连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的?
希望有个过程
做好请吃饭哈

四道积分题目(1)积分:(0,1)lnx/(1-x)dxps:上限1,下限0(2)连加号(n=1->无穷)1/[2^n(2n-1)](3)连加号:(n=1->无穷)ln(2+1/n)/根号[(3n-2)(3n+2)]的收敛性!(4)连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n判断其在[1/2,2]是不是一致收
我说过我会尽全力的...
关于第一题,侯宇诗的作法和火星的答案是正确的.
我觉得LS没有弄清楚函数列各项指的究竟是什么,ln(1-x)展开约简之后,函数列各项实际上是fn(x)=x^(n-1)/n 容易证明这个正项函数列在(0,1)上是一致收敛的 (limfn<1/n-->0),那么,这个时候,积分求和可以改变顺序.而lnx/(1-x),这只是一个可怜的不一致收敛的函数,不是函数列...
真正不能改变顺序的 应该是∫(x=1->∞)∑(lnx/(1-x))
(2)
火星的答案是正确的.这是我的做法
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
=(1/sqrt2) (n=1->∞)∑1/[(1/sqrt2)^(2n-1)/(2n-1)]
奇数等于全体减去偶数
=(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^n/n-(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^(2n)/2n
=(1/sqrt2)[0.5ln(1-1/2)-ln(1-1/sqrt2)]
=ln(1+sqrt2)/sqrt2 = arcsin(1)/sqrt2
(4)利用Cauchy准则
函数项级数∑un一致收敛 等价于 对于所有 m>0 存在N 对于所有n>N 和 所有的正整数p 有|u(n+1)+u(n+2)+...+u(n+p)| < m 而对于所有的n属于N,un>0
即证lim n-> 正无穷 un = 0
而lim un = n^2(x^n+1/x^n)/e^n <= lim n^2/(e/2)^n -->0
故对于所有的 x 属于 [1/2,2] 都有 lim un = 0
由cauchy准则 函数项级数在[1/2,2]上一致收敛

(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0

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(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞

收起

1
-(Pi^2/6)
2
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
3
不收敛
4
显然一致收敛,

第1题虽然-(Pi^2/6) 这个结果虽然很美妙，但是过程是错的，原因是在没有论证一致收敛情况下，积分求和交换顺序不一定相等，而这道题恰好不相等，可以论证如下：
整体可积局部可积，在（0，1/2）处考虑，lnx/(1-x)<=2lnx<0,但是lnx在（0，1/2)不可积，那么比他更小的肯定不可积了
第二题ArcSinh[1]/Sqrt[2]的确是对的。。。我的程序有问题。co...

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第1题虽然-(Pi^2/6) 这个结果虽然很美妙，但是过程是错的，原因是在没有论证一致收敛情况下，积分求和交换顺序不一定相等，而这道题恰好不相等，可以论证如下：
整体可积局部可积，在（0，1/2）处考虑，lnx/(1-x)<=2lnx<0,但是lnx在（0，1/2)不可积，那么比他更小的肯定不可积了
第二题ArcSinh[1]/Sqrt[2]的确是对的。。。我的程序有问题。con的解法是对的，比较Taylor展式，凑出来的
#include
using namespace std;
int main()
{
int n = 1;
double sum = 0;
double base = 1;
for(n=1;n<10000;n++){
base*=(1.0/2);
sum+=(base/(2*n-1));
}
cout << sum << endl;
system("pause");
}
第三题倒是好做，ln(2+1/n)/根号（3n-2)(3n+2)和1/n同阶无穷小，但级数1/n的和不收敛，这个也不收敛了
第四题，我认为你说的是fk=(n=1->k)n^2(x^n+1/x^n)/e^n形成的{fk}是在[1/2，2]一致收敛的吧，要不然你这个是一个函数，不用判断一致收敛性只有一致连续性
利用Abel判别法，1/n^2部分和一致收敛，(x^n+1/x^n)n^4/e^n对每个x属于[1/2,2]都是单调的，而且一致有界，必然{fk}一致收敛
当然了，我说的显然那是不对的，数学的词典里没有“显然”这个词，昨天有点烦了，就随口说了，实在不该
我的答案仅供参考，关于第四题，改一下题吧。。。

收起

(4)第四题确实有必要改改，不过无何大碍，因为 连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n
同样只是一个可怜的函数，所谓独木代替不了森林，应该是定义 fk(x)=(n=1->k)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n为好.
LS的LS 用abel判别法，比cauchy个人感觉要好，虽然属于两种不同的思路，不过同样步骤也比较少...

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(4)第四题确实有必要改改，不过无何大碍，因为 连加号:(n=1->无穷)n^2(x^n+1/x^n)/e^n
同样只是一个可怜的函数，所谓独木代替不了森林，应该是定义 fk(x)=(n=1->k)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n为好.
LS的LS 用abel判别法，比cauchy个人感觉要好，虽然属于两种不同的思路，不过同样步骤也比较少

收起

(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0

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(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞
不知对不对！(*^__^*) 嘻嘻……

收起

(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0

全部展开

(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞
回答完毕
谢谢

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1.Sn2=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
limSn2=(π^2)/6 n趋于无穷大
f(x)=x^2,x<[-pi,pi]
把它扩展为周期为2*pi的函数,是偶函数
把f(x)展开成傅里叶级数(略)得
f(x)=pi^2/3+4(-cos(x)+cos(2x)/4-cos(3x)/9+cos(4x)/16-.....)

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1.Sn2=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
limSn2=(π^2)/6 n趋于无穷大
f(x)=x^2,x<[-pi,pi]
把它扩展为周期为2*pi的函数,是偶函数
把f(x)展开成傅里叶级数(略)得
f(x)=pi^2/3+4(-cos(x)+cos(2x)/4-cos(3x)/9+cos(4x)/16-.....)
上式令x=pi得到
1+1/4+1/9+1/16+1/25+.....=pi^2/6
或者用伯努利函数
1+1/2^(2n)+1/3^(2n)+...+1/m^(2n)=pi^(2n)*2^(2n-1)*Bn/(2n)!
取n=1即可
B1=1/6
2.不会
3.不会
(*^__^*) 嘻嘻……

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