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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:00:38
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如图已知椭圆
x2a2
+
y2b2
＝1（a＞b＞0）的离心率为
32
,且过点A（0,1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点．求证：直线MN恒过定点P（0,-
35
）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（1）由题意知,e=ca＝32,b=1,a2-c2=1,由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l1的方程为y=kx+1,由方程组y＝kx+1x24+y2＝1,得（4k2+1）x2+8kx=0,利用题设条件推导出直线MP与直线NP的斜率相等,从而得到M,N,P三点共线,由此证明直线MN恒过定点P（0,-35）．
（1）由题意知,e=ca＝32,b=1,a2-c2=1,…（4分）
解得a=2,
所以椭圆C的标准方程为x24+y2＝1．…（6分）
（2）设直线l1的方程为y=kx+1,
由方程组y＝kx+1x24+y2＝1,得（4k2+1）x2+8kx=0,…（8分）
解得x1＝−8k4k2+1,x2=0,所以xM＝−8k4k2+1,yM=1−4k24k2+1,…（10分）
同理可得xN＝8kk2+4,yN＝k2−4k2+4,…（12分）
kMP＝1−4k24k2+1+35−8k4k2+1=−8k25+85−8k=k2−15k,
kNP＝k2−4k2+4+358kk2+4=8k25−858k=k2−15k,…（14分）
所以M,N,P三点共线,故直线MN恒过定点P（0,-35）．…（16分）
阿甘是个好人哈哈哈哈哈