作业帮一道求最小值的题目求解a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:33:37
一道求最小值的题目求解a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
一道求最小值的题目求解
a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
一道求最小值的题目求解a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
很明显,a>=0且b>=0
1/√a+1/√3b=(√a+√3b)/√3ab=(√a+3b+2√3ab)/√3ab=(√(1+2√3ab))/√3ab
令t=√3ab则原式=(√1+2t)/t=e^ln(√1+2t /t)=e^(1/2ln(1+2t)-lnt)
判断y=1/2ln(1+2t)-lnt的单调性,y'=1/2*(1/(1+2t))-1/t=(1/2-t)/t(1+2t)
当t>1/2时y'<0,函数y单调递减,t>1/2时y'>0,函数y单调递增,当t=1/2时y有最小值
故当√3ab=1/2时1/√a＋1/√3b有最小值为2√2
用调和平均数和平方平均数做
2/(1/√a＋1/√(3b)) <=√(a+3b)/2=√2/2
所以1/√a＋1/√(3b)>=2√2
2√2
a+3b≥2√3ab
∴√3ab≤1/2
把要求的式子平方得
1/a+1/3b+2/√3ab
对1/a+1/3b乘以a+3b 乘得1结果不变得
2+3b/a+a/3b最小值为4 后面的2/√3ab最小值明显为4 所以是8 再开方就是2√2
∵ 1 = a + 3b ≥ 2√（3ab） ∴ √(3ab）≤ 1/2 ∴ 1 / √（3ab）≥ 2
∴[ 1/√a＋1/√(3b) ]ˆ2 = 1/a + 1/3b + 2 / √(3ab) ≥ 1/a + 1/3b + 4
∵ a + 3b = 1
∴原式 ...
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∵ 1 = a + 3b ≥ 2√（3ab） ∴ √(3ab）≤ 1/2 ∴ 1 / √（3ab）≥ 2
∴[ 1/√a＋1/√(3b) ]ˆ2 = 1/a + 1/3b + 2 / √(3ab) ≥ 1/a + 1/3b + 4
∵ a + 3b = 1
∴原式 = ( 1/a + 1/3b ) ( a + 3b ） + 4 = 3b/a + a/3b + 6 ≥ 2√( 3b/a * a/3b) + 6 = 2 + 6 = 8
∴ 1/√a＋1/√(3b) ≥ √8 = 2 √ 2
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