作业帮求三角形面积在△ABC中,∠C为直角,四边形CDFE为正方形,AF＝a,FB＝b,求证△ADF与△FEB面积之和为ab／2．希望各位高手能帮帮兄弟,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 10:40:56
求三角形面积在△ABC中,∠C为直角,四边形CDFE为正方形,AF＝a,FB＝b,求证△ADF与△FEB面积之和为ab／2．希望各位高手能帮帮兄弟,
求三角形面积
在△ABC中,∠C为直角,四边形CDFE为正方形,AF＝a,FB＝b,求证△ADF与△FEB面积之和为ab／2．希望各位高手能帮帮兄弟,
求三角形面积在△ABC中,∠C为直角,四边形CDFE为正方形,AF＝a,FB＝b,求证△ADF与△FEB面积之和为ab／2．希望各位高手能帮帮兄弟,
在DC上截取DB'=EB,连接B'F,因为:DF=EF,DB'=EB,FDB'=FEB=90度;所以三角FDB'与FEB全等;所以:FB'=FB=b,B'FD=BFE=90-B=90-AFD,得:AFB'=90度,所以两三角形面积和=AFD+FDB'=AFB'=AF*B'F/2=ab/2.
证明：∵四边形CDFE为正方形
∴AC‖EF
∴∠A=∠EFB
∵∠ADF=∠FEB=90°
∴△ADF∽△EFB
设四边形CDFE的边长为m，则
a/b=m/BE=AD/m
∴BE=mb/a
AD=ma/b
∴s和=1/2·(am/b)·m+1/2·（bm/a）·m=（a²+b²）/2ab
设正方形的四边边长为:X=DF=EF
则:X=asinA=bsinB，AD=acosA EB=bsinA
角A=角EFB
可以推出：
sinA的平方=b平方/（a平方+b平方）cosA的平方=a平方/（a平方+b平方）
这个式子可以推出：sinAcosA的值。sinAcosA=ab/（a平方+b平方）
代入
S△ADF+S△FEB=1/2DF...
全部展开
设正方形的四边边长为:X=DF=EF
则:X=asinA=bsinB，AD=acosA EB=bsinA
角A=角EFB
可以推出：
sinA的平方=b平方/（a平方+b平方）cosA的平方=a平方/（a平方+b平方）
这个式子可以推出：sinAcosA的值。sinAcosA=ab/（a平方+b平方）
代入
S△ADF+S△FEB=1/2DF*AD+1/2EF*EB=1/2(a平方+b平方）*sinAcosA
可以得证
如果没有学过三角函数关系的话，可以用相似形及勾股定理来求，然后化简分式，也是很简单，中间的过程多项式都是可以消除的！！
或者单纯的只以勾股定理来求证.
AC平方+BC平方=AB平方
AC=AD+X BC=EB+X AB=a+b
AD平方+X平方+2AD*X+EB平方+X平方+2EB*X=a平方+b平方+2ab （式1）
AD平方+X平方=AF平方=a平方
EB平方+X平方=FB平方=b平方
2AD*X+2EB*X=4（S△ADF+S△FEB）
代入（式1）
得证！！
最简洁的答案还是楼上的答案。
才是几何证明！！
收起
证明：∵四边形CDFE为正方形
∴AC‖EF
∴∠A=∠EFB
∵∠ADF=∠FEB=90°
∴△ADF∽△EFB
设四边形CDFE的边长为m，则
a/b=m/BE=AD/m
∴BE=mb/a
AD=ma/b
∴s和=1/2·(am/b)·m+1/2·（bm/a）·m=（a²+b²）/2ab