必修二数学题若过点A(0,1)和B(4,m)并且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 15:51:29
必修二数学题若过点A(0,1)和B(4,m)并且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程

必修二数学题若过点A(0,1)和B(4,m)并且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程
必修二数学题
若过点A(0,1)和B(4,m)并且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程

必修二数学题若过点A(0,1)和B(4,m)并且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程
设圆心为(a,b),则圆方程为
(x-a)²+(y-b)²=b²
将A(0,1)代入圆方程,即
a²+(b-1)²=b² .(i)
将B(4,m)代入圆方程,即
(4-a)²+(m-b)²=b².(ii)
联立 (i) (ii) ,很容易消去b得:
(1-m)*a²-8a+m²-m+16=0 .(iii)
因为依题意圆心(a,b)唯一,故a有唯一解,分两种情况:
(1)若1-m=0,则m=1,得 a=2,b=5/2
圆方程为(x-2)²+(y-5/2)²=25/4
(2)若1-m≠0,则将方程(iii)看成关于a的一元二次方程,要使a有唯一解,则
△=0,即 8²-4(1-m)(m²-m+16)=0,整理得
m³-2m²+17m=0,因式分解,得
m(m²-2m+17)=0,
m=0 或 m²-2m+17=0(舍去,因为m²-2m+17恒大于0),故
m=0,则a²-8a+16=0,得a=4,故b=17/2
圆方程为(x-4)²+(y-17/2)²=289/4
综上所述:
当 m=1 时,圆方程为(x-2)²+(y-5/2)²=25/4
当 m=0 时,圆方程为(x-4)²+(y-17/2)²=289/4

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