作业帮x^2+y^2=1,求xy的取值范围求（y-2）/(x-3）的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:49:03
x^2+y^2=1,求xy的取值范围求（y-2）/(x-3）的取值范围
x^2+y^2=1,求xy的取值范围求（y-2）/(x-3）的取值范围
x^2+y^2=1,求xy的取值范围求（y-2）/(x-3）的取值范围
方法一：不妨设x=sina,y=cosa
a∈R
∴x*y=sina*cosa=(1/2)*(2sina*cosa)=(1/2)*sin2a
∵-1≤sin2a≤1
∴-1/2≤(1/2)*sin2a≤1/2
即
-1/2≤xy≤1/2
方法二：(xy)^2=[x*√(1-x^2)]^2=x^2*(1-x^2)
根据均值不等式
x^2*(1-x^2)≤[(x^2+1-x^2)/2]^2=(1/2)^2=1/4
即(xy)^2≤1/4
∴-1/2≤xy≤1/2
观察式子,可以看出和求直线斜率的公式类似
所以（y-2）/(x-3）代表的是
圆x^2+y^2=1上的点与点(3,2)连线所在直线的斜率
设k=（y-2）/(x-3）
∴直线方程为y=k(x-3)+2
方法一（复杂）：
联立圆方程x^2+y^2=1
得(1+k^2)x^2+2k(2-3k)x-1+(2-3k)^2=0
要求相切时的斜率k值
所以△=0时,
b^2-4ac=4k^2*(2-3k)-4(1-k^2)(2-3k)=0
解得k=(12±4√3)/16
∴(12-4√3)/16≤k≤(12+4√3)/16
即(12-4√3)/16≤（y-2）/(x-3）≤(12+4√3)/16
方法二(简单)：
直线与圆相切时,直线到圆心距离等于半径
据点到直线的距离公式
|-3k+2|/√(1+k^2)=1
两边平方,然后解出k=(12±4√3)/16
∴(12-4√3)/16≤k≤(12+4√3)/16
即(12-4√3)/16≤（y-2）/(x-3）≤(12+4√3)/16
终于解完了,花了很多时间,好的话加分~